Megoldás. Először megmutatjuk, hogy az $x^3-2$ polinomnak nincs sem első-, sem pedig másodfokú osztója a racionális együtthatós polinomok között. Ha ugyanis lenne ilyen, akkor $x^3-2$ egy első- és egy másodfokú racionális együtthatós polinom szorzata lenne. Az elsőfokú $ax+b$ osztónak a $\frac{-b}{a}$ racionális szám gyöke, ami így gyöke lenne az $x^3-2$ polinomnak is. Azonban egy racionális $\frac{K}{N}$ szám (ahol $K$ és $N$ egymáshoz relatív prím egészek) köbe sosem 2, hiszen $K^3=2N^3$ esetén a 2 kitevője a bal oldalon ($K^3$ prímtényezős felbontásában) osztható 3-mal, a jobb oldalon pedig nem, ami lehetetlen.
Másodjára azt igazoljuk, hogy $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ racionális számokkal $\alpha +\beta \sqrt[3]{2}+\gamma \sqrt[3]{4}=0$ csak $\alpha =\beta =\gamma =0$ esetén állhat fenn. Ekkor $\sqrt[3]{2}$ gyöke ‐ az $x^3-2$ polinomon kívül ‐ a (legfeljebb másodfokú) $\alpha +\beta x+\gamma x^2$ polinomnak; ekkor gyöke e két polinom legnagyobb közös osztójának, $d\left(x\right)$-nek is. Az elsőként igazolt tulajdonság miatt $d\left(x\right)$ csak harmadfokú vagy konstans polinom lehet. Ha $d\left(x\right)$ harmafokú, akkor csak úgy lehet egy legfeljebb másodfokú polinomnak az osztója, ha az nulla, vagyis $\alpha =\beta =\gamma =0$. Ha pedig $d\left(x\right)$ konstans, akkor ‐ mivel van gyöke ‐ csak a nulla polinom lehet, ami viszont nem osztója $x^3-2$-nek; ez az eset tehát nem következhet be.
A feladat állításának bizonyításához végezzük el az ${\left(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\right)}^3$ hatványozást az ${\left(x+y\right)}^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)$ azonosság ismételt alkalmazásával: