Kezdőlap


Feladat:	B.3876	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Réka
Füzet:	2006/november, 481. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térbeli ponthalmazok távolsága, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: B.3876

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a kocka csúcsai az ábrán látható módon $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ . A kocka szimmetriája miatt elegendő valamelyik szomszédos lappáron lévő, egymást nem metsző lapátlók távolságát meghatározni. Ilyen lapátlópár pl. $A F$ és $B G$ .
Két kitérő egyenes távolsága megegyezik annak a két párhuzamos síknak a távolságával, melyek közül az egyik az egyik egyenest, a másik pedig a másik egyenest tartalmazza. Esetünkben ezek a síkok $A F H$ és $B D G$ , mert $A H$ párhuzamos $B G$ -vel és $D G$ párhuzamos $A F$ -fel (hiszen a kocka szemközti lapjain lévő megfelelő lapátlók párhuzamosak). Tehát feladatunk az $A F H$ és $B D G$ síkok távolságának meghatározása. Megmutatjuk, hogy mindkét sík merőleges az $E C$ testátlóra és harmadolja azt.

A F H

és a

B D G

háromszögek szabályosak, mert minden oldaluk a kocka egy-egy lapátlója.

E A = E F = E H = 1 = C B = C D = C G

, mert mindegyik a kocka egy-egy éle. Ezért, ha

E

-t összekötjük az

A F H

háromszög

S

súlypontjával (amely egyúttal a körülírható kör középpontja is), akkor az

E S

egyenes merőleges lesz az

A F H

síkra, s ugyanígy, ha a

B D G

háromszög súlypontja

T

, akkor

C T

merőleges a

B D G

síkra. Tekintsük az

E A = a

E F = f

és

E H = h

vektorokat. A kocka tulajdonságai miatt

a + f + h = \vec{E C}

, továbbá a háromszög súlypontjára vonatkozó összefüggés szerint

\frac{a + f + h}{3} = \vec{E S}

. Ez azt jelenti, hogy

S

E C

testátló egyik harmadolópontja. Ugyanígy kapjuk, hogy

T

a testátló másik harmadolópontja.
A két sík távolsága tehát éppen a testátló harmada. A két lapátló távolsága így az egységkocka testátlójának harmada, azaz

\frac{\sqrt[]{3}}{3}