Feladat: B.3876 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss Réka 
Füzet: 2006/november, 481. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Térbeli ponthalmazok távolsága, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/január: B.3876

Milyen távolságra van egymástól az egységkocka két szomszédos lapján lévő (egymást nem metsző) lapátlója?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a kocka csúcsai az ábrán látható módon A, B, C, D, E, F, G, H. A kocka szimmetriája miatt elegendő valamelyik szomszédos lappáron lévő, egymást nem metsző lapátlók távolságát meghatározni. Ilyen lapátlópár pl. AF és BG.
Két kitérő egyenes távolsága megegyezik annak a két párhuzamos síknak a távolságával, melyek közül az egyik az egyik egyenest, a másik pedig a másik egyenest tartalmazza. Esetünkben ezek a síkok AFH és BDG, mert AH párhuzamos BG-vel és DG párhuzamos AF-fel (hiszen a kocka szemközti lapjain lévő megfelelő lapátlók párhuzamosak). Tehát feladatunk az AFH és BDG síkok távolságának meghatározása. Megmutatjuk, hogy mindkét sík merőleges az EC testátlóra és harmadolja azt.

 
 

Az AFH és a BDG háromszögek szabályosak, mert minden oldaluk a kocka egy-egy lapátlója. EA=EF=EH=1=CB=CD=CG, mert mindegyik a kocka egy-egy éle. Ezért, ha E-t összekötjük az AFH háromszög S súlypontjával (amely egyúttal a körülírható kör középpontja is), akkor az ES egyenes merőleges lesz az AFH síkra, s ugyanígy, ha a BDG háromszög súlypontja T, akkor CT merőleges a BDG síkra. Tekintsük az EA=a, EF=f és EH=h vektorokat. A kocka tulajdonságai miatt a+f+h=EC, továbbá a háromszög súlypontjára vonatkozó összefüggés szerint a+f+h3=ES. Ez azt jelenti, hogy S az EC testátló egyik harmadolópontja. Ugyanígy kapjuk, hogy T a testátló másik harmadolópontja.
A két sík távolsága tehát éppen a testátló harmada. A két lapátló távolsága így az egységkocka testátlójának harmada, azaz 33.