Kezdőlap


Feladat:	B.3874	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csató László , Herber Máté
Füzet:	2007/február, 95 - 96. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív sorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: B.3874

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány tagját:

\begin{matrix} a_{1} = 2 - \frac{1}{2!} = \frac{3}{2}, a_{2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3!} = \frac{7}{6}, a_{3} = \frac{7}{6} - \frac{3}{4!} = \frac{25}{24} . \end{matrix}

Ebből az a sejtésünk támad, hogy

a_{n} = \frac{(n + 1)! + 1}{(n + 1)!}

. Ezt teljes indukcióval látjuk be.
Az állítás a sorozat első három tagjára igaz. Tegyük fel, hogy igaz

n = k

-ra:

a_{k} = \frac{(k + 1)! + 1}{(k + 1)!}

. A rekurzív képletet felhasználva, ebből:

\begin{matrix} a_{k + 1} & = a_{k} - \frac{k + 1}{(k + 2)!} = \frac{(k + 1)! + 1}{(k + 1)!} - \frac{k + 1}{(k + 2)!} = \\ = \frac{(k + 2)! + (k + 2) - (k + 1)}{(k + 2)!} = \frac{(k + 2)! + 1}{(k + 2)!} . \end{matrix}

Ezzel beláttuk, hogy a sejtés minden

n

-re igaz. Vagyis a sorozat

n

-edik tagja

\begin{matrix} a_{n} = \frac{(n + 1)! + 1}{(n + 1)!} = 1 + \frac{1}{(n + 1)!} . \end{matrix}

II. megoldás. Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} \frac{n}{(n + 1)!} = \frac{(n + 1) - 1}{(n + 1)!} = \frac{n + 1}{(n + 1)!} - \frac{1}{(n + 1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} . \end{matrix}

(1)

Tekintsük a sorozat szomszédos tagjainak különbségeit:

\begin{matrix} a_{0} - a_{1} = \frac{1}{2!}, a_{1} - a_{2} = \frac{2}{3!}, ..., a_{n - 1} - a_{n} = \frac{n}{(n + 1)!} . \end{matrix}

Ezeket a különbségeket (1) felhasználásával a következőképpen alakíthatjuk át:

\begin{matrix} a_{0} - a_{1} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}, a_{1} - a_{2} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}, ..., a_{n - 1} - a_{n} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} . \end{matrix}

Adjuk össze az így kapott különbségeket, majd a kapott egyenletet rendezzük át (ehhez használjuk fel, hogy

a_{0} = 2

\begin{matrix} a_{0} - a_{n} & = 1 - \frac{1}{(n + 1)!}, \\ a_{n} = 1 + \frac{1}{(n + 1)!} & = \frac{(n + 1)! + 1}{(n + 1)!} . \end{matrix}