Kezdőlap


Feladat:	3935. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Pálovics Róbert
Füzet:	2007/október, 436 - 437. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: 3935. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat szövege kétféle értelmezést is megenged: a kúp úszhat úgy, hogy a csúcsa a levegőben van, de úgy is, hogy a csúcsa a víz alatt van. Vizsgáljuk meg mindkét esetet! (Az úszás stabilitásának vizsgálata bonyolultabb kérdés, ezzel most nem foglalkozunk.)
$a)$ Az 1. ábra jelöléseivel az úszás feltétele:

\begin{matrix} V_{be} ϱ_{víz} g = V ϱ_{jég} g, \end{matrix}

(1)

ahol a vízbe merülő rész térfogata a teljes

V

térfogattal is kifejezhető:

V_{be} = V - V'

. Innen

\begin{matrix} \frac{V}{V - V'} = \frac{ϱ_{víz}}{ϱ_{jég}} . \end{matrix}

(2)

1. ábra

Fennáll továbbá, hogy a jégtömbnek a vízből kiálló kúpja és a teljes kúp hasonlóak, emiatt a térfogatuk aránya a lineáris méretük (pl. magasságuk) arányának köbével egyezik meg:

\begin{matrix} V' = {(\frac{h'}{h})}^{3} V . \end{matrix}

Ezt (2)-be helyettesítve és

ϱ_{jég} = 920 kg/m^{3}

ϱ_{víz} = 1000 kg/m^{3}

értékekkel számolva

\begin{matrix} h' = \sqrt[3]{1 - \frac{ϱ_{jég}}{ϱ_{víz}}} \cdot h \approx 0, 43 h \end{matrix}

adódik. A csúcsával felfelé elhelyezkedő jégtömbnek tehát kb. 43 százaléka áll ki a vízből.

b)

Ha a jégtömb a 2. ábrának megfelelő (nyilván labilis) helyzetben úszik, az erőegyensúly feltétele most is (1), de a térfogatok aránya a magasságok arányával így fejezhető ki:

\begin{matrix} \frac{V_{be}}{V} = {(\frac{h - h'}{h})}^{3} . \end{matrix}

2. ábra

A fenti összefüggésekből

\begin{matrix} h' = (1 - \sqrt[3]{\frac{ϱ_{jég}}{ϱ_{víz}}}) h \approx 0, 027 h, \end{matrix}

a jégtömbnek tehát ebben a helyzetben mindössze 3 százaléka áll ki a vízből.