Feladat: 3935. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Pálovics Róbert 
Füzet: 2007/október, 436 - 437. oldal  PDF file
Témakör(ök): Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/december: 3935. fizika feladat

Kúp alakú jégtömb úszik a vízen úgy, hogy a szimmetriatengelye függőleges. Magasságának hányad része áll ki a vízből?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat szövege kétféle értelmezést is megenged: a kúp úszhat úgy, hogy a csúcsa a levegőben van, de úgy is, hogy a csúcsa a víz alatt van. Vizsgáljuk meg mindkét esetet! (Az úszás stabilitásának vizsgálata bonyolultabb kérdés, ezzel most nem foglalkozunk.)
a) Az 1. ábra jelöléseivel az úszás feltétele:

Vbeϱvízg=Vϱjégg,(1)
ahol a vízbe merülő rész térfogata a teljes V térfogattal is kifejezhető: Vbe=V-V'. Innen
VV-V'=ϱvízϱjég.(2)

 

 

1. ábra
 

Fennáll továbbá, hogy a jégtömbnek a vízből kiálló kúpja és a teljes kúp hasonlóak, emiatt a térfogatuk aránya a lineáris méretük (pl. magasságuk) arányának köbével egyezik meg:
V'=(h'h)3V.
Ezt (2)-be helyettesítve és ϱjég=920kg/m3, ϱvíz=1000kg/m3 értékekkel számolva
h'=1-ϱjégϱvíz3h0,43h
adódik. A csúcsával felfelé elhelyezkedő jégtömbnek tehát kb. 43 százaléka áll ki a vízből.
b) Ha a jégtömb a 2. ábrának megfelelő (nyilván labilis) helyzetben úszik, az erőegyensúly feltétele most is (1), de a térfogatok aránya a magasságok arányával így fejezhető ki:
VbeV=(h-h'h)3.

 

 

2. ábra
 

A fenti összefüggésekből
h'=(1-ϱjégϱvíz3)h0,027h,
a jégtömbnek tehát ebben a helyzetben mindössze 3 százaléka áll ki a vízből.