Feladat: B.3991 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Peregi Tamás 
Füzet: 2007/november, 483. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Egybevágósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/március: B.3991

Az ABC egyenlőszárú háromszögben C-nél derékszög van. Legyen P a BC oldal egy tetszőleges pontja, és jelölje G a C pont AP-re való merőleges vetületét. Legyen H az AP szakasz azon pontja, amelyre AH=CG. Milyen szög alatt látszik AB felezőpontjából a GH szakasz?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen F az AB szakasz felezőpontja.

 
 

Mivel az ABC háromszög egy négyzet fele, CF=AF, és az ACF, illetve BCF háromszögek egyenlő szárú derékszögű háromszögek. A CAP=PCG, mivel CAP és PCG merőleges szárú szögpárt alkotnak (mindkettő hegyesszög).
A HAF=GCF=45-PCG. A GCF és HAF háromszögek egybevágóak, mivel két szomszédos oldaluk és az általuk bezárt szög egyenlő. E két háromszög egymás 90-os elforgatottja, mert CF merőleges AF-re és CG merőleges AH-ra, tehát FG és FH is merőlegesek egymásra.
Ez azt jelenti, hogy a GH szakasz az AB szakasz felezőpontjából derékszög alatt látszik.