Kezdőlap


Feladat:	B.3869	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szőke Nóra
Füzet:	2006/október, 410 - 411. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Körülírt kör, Egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: B.3869

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $A A_{1}$ szögfelező, $B A A_{1} ∢ = C A A_{1} ∢$ . $A B B_{1} ∢ = A A_{1} B_{1} ∢$ , mert mindkettő az $A B_{1}$ ívhez tartozó kerületi szög (1. ábra). Tehát az $A B M$ és $A A_{1} N$ háromszögek hasonlóak, mert két-két szögük egyenlő. Ezért megfelelő oldalaik aránya megegyezik.

\begin{matrix} \frac{A B}{A M} = \frac{A A_{1}}{A N}, azaz A B \cdot A N = A M \cdot A A_{1} . \end{matrix}

1. ábra

Ugyanígy igazolható, hogy az

A C M

és az

A A_{1} L

háromszögek is hasonlóak (2. ábra), mert szintén megegyezik két-két szögük. Ezért

\begin{matrix} \frac{A C}{A M} = \frac{A A_{1}}{A L}, azaz A C \cdot A L = A M \cdot A A_{1} . \end{matrix}

Ezekből az egyenlőségekből következik, hogy

\begin{matrix} A B \cdot A N = A C \cdot A L, vagyis \frac{A L}{A N} = \frac{A B}{A C} . \end{matrix}

Így az

A L N

és az

A B C

háromszögek

A

-ra nézve középpontosan hasonlóak, mert az

A

-ból induló oldalegyeneseik egybeesnek, valamint megegyezik az azokon lévő oldalaik aránya is.

2. ábra

Harmadik oldaluk,

L N

és

B C

tehát párhuzamos, ami éppen a bizonyítandó állítás.