Kezdőlap


Feladat:	B.3867	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Ádám , Bogár Péter , Csató László , Dányi Zsolt , Gaizer Tünde , Honner Balázs , Károlyi Márton , Kornis Kristóf , Kovács 111 Péter , Kutas Péter , Lovász László Miklós , Mészáros Gábor , Milotai Zoltán , Németh Zsolt , Pesti Veronika , Szabó Tamás , Szakács Nóra , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba , Szücs Gergely , Tomon István , Varga László , Véges Márton , Wolosz János
Füzet:	2006/november, 479 - 480. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímszámok, Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: B.3867

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $n$ szám egyértelműen írható fel $n = 3^{k} \cdot m$ alakban, ahol $k$ nemnegatív egész szám, $m$ pedig $3$ -mal nem osztható egész szám.
A $2^{3^{k}} = a$ jelölést bevezetve:

\begin{matrix} 4^{n} + 2^{n} + 1 = 4^{3^{k} \cdot m} + 2^{3^{k} \cdot m} + 1 = a^{2 m} + a^{m} + 1. \end{matrix}

Igazolni fogjuk, hogy

A = a^{2} + a + 1 ∣ a^{2 m} + a^{m} + 1

.
Az

a^{ℓ + 3} - a^{ℓ} = a^{ℓ} \cdot (a^{3} - 1) = a^{ℓ} (a - 1) (a^{2} + a + 1) = a^{ℓ} (a - 1) A

azonosság szerint az

a^{ℓ}

szám

A

-val vett osztási maradékát csak az

ℓ

kitevő

3

-as maradéka határozza meg (

ℓ

tetszőleges nemnegatív egész szám lehet). Mivel

m

nem osztható

3

-mal, az

m

és

2 m

közül az egyik

3

-as maradéka

1

, a másiké pedig

2

. Így az

a^{2 m} + a^{m} + 1

és

a^{2} + a + 1

számok

A

-val osztva ugyanazt a maradékot adják. Mivel utóbbi éppen

A

, ez a maradék

0

. Tehát

A = a^{2} + a + 1

valóban osztja

a^{2 m} + a^{m} + 1

-et. A feltétel szerint

4^{n} + 2^{n} + 1 = a^{2 m} + a^{m} + 1

prímszám, de osztható az

1

-nél nagyobb

a^{2} + a + 1

számmal. Ez csak úgy lehet, ha egyenlők, azaz

m = 1

. Ekkor viszont

n = 3^{k} \cdot m = 3^{k}

, tehát

n

3

-nak egész kitevőjű hatványa.