Kezdőlap


Feladat:	B.3863	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2007/február, 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: B.3863

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Felhasználjuk a minden $n$ természetes számra érvényes

\begin{matrix} a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) \end{matrix}

azonosságot. Eszerint, ha

a

és

b

tetszőleges egész számok, akkor

a^{n} - b^{n}

osztható

(a - b)

-vel. Ennek alapján az

a_{1} = 1^{2006} - 1004^{2006}

a_{2} = 2^{2006} - 1005^{2006}

a_{3} = 3^{2006} - 1006^{2006}

...

a_{1002} = 1002^{2006} - 2005^{2006}

különbségek mindegyike osztható 1003-mal. A feladatban szereplő összeg éppen

\begin{matrix} (a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + ... - a_{1002}) + 1003^{2006}, \end{matrix}

tehát osztható 1003-mal. Nem osztható viszont 2006-tal, hiszen a páratlan tagok száma 1003; így a szóban forgó alternáló összeg is páratlan.