Kezdőlap


Feladat:	B.3861	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Bogár Péter , Csaba Ákos , Csató László , Cseh Ágnes , Honner Balázs , Horváth Vanda , Kardos Kinga , Komáromy Dani , Korándi Dániel , Kovács 111 Péter , Kovács 129 Péter , Kunovszki Péter , Mészáros Gábor , Nagy János , Németh Zsolt , Peregi Tamás , Pesti Veronika , Szakács Nóra , Szalóki Dávid , Szentandrási István , Szilágyi Csaba , Szűcs Gergely , Ta Phoung Linh , Tomon István , Tossenberger Anna , Varga László , Werner Miklós
Füzet:	2006/szeptember, 346 - 347. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Polinomok, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: B.3861

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló $f (x)$ polinom emlékeztet az ${(x - 1)}^{7}$ és az ${(x + 1)}^{7}$ kifejezések binomiális kifejtésére. Ezeket írjuk föl:

\begin{matrix} {(x - 1)}^{7} & = x^{7} - 7 x^{6} + 21 x^{5} - 35 x^{4} + 35 x^{3} - 21 x^{2} + 7 x - 1 és \\ {(x + 1)}^{7} & = x^{7} + 7 x^{6} + 21 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} + 21 x^{2} + 7 x + 1. \end{matrix}

Nehéz nem észrevenni, hogy

\begin{matrix} f (x) = \frac{3 {(x - 1)}^{7} - {(x + 1)}^{7}}{2} . \end{matrix}

Innen azonnal leolvasható, hogy

f (x)

pontosan akkor nulla, ha

\begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1} = 3^{\frac{1}{7}} . \end{matrix}

(1)

Mivel pedig az

r (x) = \frac{x + 1}{x - 1}

függvény kölcsönösen egyértelmű, azért elegendő megmutatni, hogy a megoldásul adott

x

értékre teljesül (1). Ez viszont nyilvánvaló, hiszen erre a számra

3 = 3^{\frac{7}{7}}

felhasználásával azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} x + 1 = 3 + 3^{\frac{1}{7}} + 3^{\frac{2}{7}} + ... + 3^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7}} (1 + 3^{\frac{1}{7}} + 3^{\frac{2}{7}} + ... + 3^{\frac{6}{7}}) = 3^{\frac{1}{7}} (x - 1) . \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.