Feladat: B.3861 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bogár Péter ,  Csaba Ákos ,  Csató László ,  Cseh Ágnes ,  Honner Balázs ,  Horváth Vanda ,  Kardos Kinga ,  Komáromy Dani ,  Korándi Dániel ,  Kovács 111 Péter ,  Kovács 129 Péter ,  Kunovszki Péter ,  Mészáros Gábor ,  Nagy János ,  Németh Zsolt ,  Peregi Tamás ,  Pesti Veronika ,  Szakács Nóra ,  Szalóki Dávid ,  Szentandrási István ,  Szilágyi Csaba ,  Szűcs Gergely ,  Ta Phoung Linh ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Varga László ,  Werner Miklós 
Füzet: 2006/szeptember, 346 - 347. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletek, Polinomok, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/november: B.3861

Igazoljuk, hogy az
x7-14x6+21x5-70x4+35x3-42x2+7x-2=0
egyenlet egyetlen valós gyöke x=2+37+97+...+367.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló f(x) polinom emlékeztet az (x-1)7 és az (x+1)7 kifejezések binomiális kifejtésére. Ezeket írjuk föl:

(x-1)7=x7-7x6+21x5-35x4+35x3-21x2+7x-1és(x+1)7=x7+7x6+21x5+35x4+35x3+21x2+7x+1.
Nehéz nem észrevenni, hogy
f(x)=3(x-1)7-(x+1)72.
Innen azonnal leolvasható, hogy f(x) pontosan akkor nulla, ha
x+1x-1=317.(1)
Mivel pedig az r(x)=x+1x-1 függvény kölcsönösen egyértelmű, azért elegendő megmutatni, hogy a megoldásul adott x értékre teljesül (1). Ez viszont nyilvánvaló, hiszen erre a számra 3=377 felhasználásával azt kapjuk, hogy
x+1=3+317+327+...+367=317(1+317+327+...+367)=317(x-1).
Ezzel a feladatot megoldottuk.