Feladat: B.3857 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cseh Ágnes ,  Dombi Soma ,  Dudás László ,  Faragó Kornél ,  Farkas Márton ,  Fegyverneki Tamás ,  Gyurcsik Judit ,  Hegyi Péter ,  Horváth Gábor ,  Kardos Kinga Gabriela ,  Károlyi Márton ,  Kovács Péter ,  Lamm Éva ,  Lovász László Miklós ,  Magda Gábor ,  Mészáros Gábor ,  Müller Márk ,  Nagy Gergely Gábor ,  Orosz Katalin ,  Quittner Bence ,  Szabó Tamás 
Füzet: 2006/május, 292 - 293. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/november: B.3857

Egy trapéz egyik alapja és két szára egységnyi. Válasszuk meg a trapéz másik alapját úgy, hogy területe a lehető legnagyobb legyen.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a trapéz nem szimmetrikus, akkor egységnyi oldalú rombusz, amelynek a területe legfeljebb 1. Szimmetrikus trapéz esetében feltehető, hogy a negyedik oldal (a trapéz másik alapja) 1-nél nagyobb, hiszen ellenkező esetben a szárak ,,kifordításával'' egy nagyobb területű megfelelő trapézba foglalható (ld. az ábrán).

 
 

Használjuk az ábra jelöléseit: a száraknak az 1-nél nagyobb alappal bezárt szöge α. Bontsuk fel a trapézt egy egységnyi oldalú, α és (180-α) szögű rombuszra és egy egységnyi szárú egyenlő szárú háromszögre, amelynek a szárai (180-2α) szöget zárnak be egymással; nyilván 0<α90; az α=90 éppen az egységoldalú rombuszok körében maximális területű egységnégyzetnek felel meg. A trapéz területét az egyenlő szárú háromszög és a rombusz területének összegeként kaphatjuk:
T=12sin(180-2α)+sinα=12sin2α+sinα=sinα(cosα+1).
Fejezzük ki mindezt t=tgα2 segítségével: sinα=2t1+t2, cosα=1-t21+t2, így
T=2t1+t221+t2=4t(1+t2)2.
Az α-ra fennálló korlátok szerint 0<α245, ezért 0<t1. A számtani és a mértani közép közti egyenletlőtlenség miatt
1+t2=13+13+13+t24131313t24=4t274,
ezért
T=4t(1+t2)24t(4t274)2=4t16t27=334.
Ezt a maximális értéket pontosan akkor veszi fel a terület, ha 13=t2, azaz tgα2=t=13=tg30, vagyis ‐ mivel a tangensfüggvény kölcsönösen egyértelmű a (0;45] intervallumon ‐ ha α=60.