Kezdőlap


Feladat:	B.3839	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2006/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Szögfelező egyenes, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: B.3839

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Húzzunk a $b$ , $c$ egyenesekkel párhuzamos egyeneseket az $A$ és a $D$ pontokon keresztül, legyenek ezek $a$ és $d$ . Mivel $A$ egyenlő távolságra van $b$ -től és $c$ -től, $a$ éppen $b$ és $c$ középpárhuzamosa, így tehát átmegy a $B C$ szakasz $F$ -fel jelölt felezőpontján. Jelöljük $d$ -nek az $A B$ egyenessel alkotott metszéspontját $K$ -val, a $D M$ és $D N$ szakaszok felezőpontját $M'$ -vel, illetve $N'$ -vel, az $A B$ szakasz felezőpontja legyen $G$ , az $A C$ szakaszé pedig $H$ .

Ekkor

M'

felezi a

B K

szakaszt, mert a

b

egyenes

M'

-re vonatkozó tükörképe

M M' = M' D

miatt a

d

egyenes. A

B A F

és

B K D

háromszögek középpontosan hasonlóak egymáshoz, hiszen

a

és

d

párhuzamos egyenesek. Ezért a két háromszögben egymásnak megfelelő

F G

és

D M'

súlyvonalak párhuzamosak egymással. A hasonlóság miatt

\begin{matrix} \frac{D M'}{D B} = \frac{F G}{F B}, ahonnan D M' = \frac{F G \cdot D B}{F B} . \end{matrix}

F G

szakasz viszont az

A B C

háromszög

A C

oldalhoz tartozó középvonala, tehát

F G = \frac{C A}{2}

M'

pedig a

D M

szakasz felezőpontja, ezért

D M = 2 \cdot D M'

, vagyis

\begin{matrix} D M = \frac{2 \cdot F G \cdot D B}{F B} = \frac{C A \cdot D B}{F B} . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk a

C D N'

és a

C F H

középpontosan hasonló háromszögekből, hogy

\begin{matrix} D N = 2 \cdot D N' = \frac{2 \cdot F H \cdot D C}{F C} = \frac{A B \cdot D C}{F C} . \end{matrix}

Ezekből az összefüggésekből, felhasználva, hogy

F B = F C

, valamint a szögfelezőtételből adódó

\frac{C A}{A B} = \frac{D C}{D B}

egyenlőséget kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{D M}{D N} = \frac{C A \cdot D B}{A B \cdot D C} = 1, \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó állítás.