Kezdőlap


Feladat:	B.3835	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga László
Füzet:	2006/március, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: B.3835

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Számoljuk össze az összes lehetséges sorsolások számát és a kedvező esetekét.
Számozzuk meg a csapatokat 1-től 8-ig, a három magyar csapat kapja az 1‐3 sorszámokat. Válasszuk ki először az 1-es csapat ellenfelét; ez 7-féle lehet. Ezután a megmaradt 6 csapat közül vegyük a legkisebb sorszámút, és ennek ellenfelét válasszuk ki; ez 5-féleképpen történhet. A többi 4 csapat közül ismét a legkisebb sorszámú ellenfele 3-féle lehet, az utolsó két csapat pedig egymás ellenfele lesz. Az összes lehetséges sorsolások száma tehát $7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$ .
Ha a magyar csapatok ellenfele mind külföldi, akkor az 1. csapat ellenfele 5-féle lehet. A 2. csapat a maradék 4 külföldi közül kap ellenfelet ‐ ez 4 lehetőség ‐, a 3. magyar csapat ellenfele 3-féle lehet, végül a két megmaradt külföldi csapat egymás ellenfele. A kedvező esetek száma tehát $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .
Az esetek $\frac{60}{105} = \frac{4}{7}$ részében nincs magyar-magyar mérkőzés.

II. megoldás. Annak valószínűsége, hogy az első magyar csapat külföldi ellenfelet kap,

\frac{5}{7}

, mivel rajta kívül 7 csapat van, és ebből 5 külföldi. Annak feltételes valószínűsége, hogy a második magyar csapat is külföldi ellenfelet kap,

\frac{4}{5}

, mert a megmaradt 5 csapat közül 4 külföldi. A harmadik magyar csapat már mindenképpen külföldit fog kapni, mert a magyar csapatokat már kisorsoltuk.
Tehát annak valószínűsége, hogy nincs magyar-magyar pár,

\begin{matrix} \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{7} . \end{matrix}

III. megoldás. Tekintsük a következő eseményeket:

\begin{matrix} A: & mindhárom magyar csapat külföldi ellenfelet kap; \\ B: & az 1. magyar csapat ellenfele a 2. magyar csapat; \\ C: & az 1. magyar csapat ellenfele a 3. magyar csapat; \\ D: & a 2. magyar csapat ellenfele a 3. magyar csapat. \end{matrix}

A négy esemény közül pontosan az egyik teljesül, ezért a valószínűségeik összege

1

. Egy kiválasztott csapat 7-féle ellenfelet kaphat egyenlő valószínűséggel, ezért a

B

C

D

események valószínűsége egyaránt

\frac{1}{7}

. A keresett valószínűség tehát

\begin{matrix} P (A) = 1 - P (B) - P (C) - P (D) = 1 - 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7} . \end{matrix}