Feladat: B.3835 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Varga László 
Füzet: 2006/március, 157 - 158. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: B.3835

Idén tavasszal a női kézilabda EHF kupában három magyar csapat is bejutott a legjobb nyolc közé. A nyolc csapatot sorsolással összepárosították. A sorsoláson mindhárom magyar csapat külföldi ellenfelet kapott. Mennyi volt ennek az esélye?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Számoljuk össze az összes lehetséges sorsolások számát és a kedvező esetekét.
Számozzuk meg a csapatokat 1-től 8-ig, a három magyar csapat kapja az 1‐3 sorszámokat. Válasszuk ki először az 1-es csapat ellenfelét; ez 7-féle lehet. Ezután a megmaradt 6 csapat közül vegyük a legkisebb sorszámút, és ennek ellenfelét válasszuk ki; ez 5-féleképpen történhet. A többi 4 csapat közül ismét a legkisebb sorszámú ellenfele 3-féle lehet, az utolsó két csapat pedig egymás ellenfele lesz. Az összes lehetséges sorsolások száma tehát 753=105.
Ha a magyar csapatok ellenfele mind külföldi, akkor az 1. csapat ellenfele 5-féle lehet. A 2. csapat a maradék 4 külföldi közül kap ellenfelet ‐ ez 4 lehetőség ‐, a 3. magyar csapat ellenfele 3-féle lehet, végül a két megmaradt külföldi csapat egymás ellenfele. A kedvező esetek száma tehát 543=60.
Az esetek 60105=47 részében nincs magyar-magyar mérkőzés.

 
II. megoldás. Annak valószínűsége, hogy az első magyar csapat külföldi ellenfelet kap, 57, mivel rajta kívül 7 csapat van, és ebből 5 külföldi. Annak feltételes valószínűsége, hogy a második magyar csapat is külföldi ellenfelet kap, 45, mert a megmaradt 5 csapat közül 4 külföldi. A harmadik magyar csapat már mindenképpen külföldit fog kapni, mert a magyar csapatokat már kisorsoltuk.
Tehát annak valószínűsége, hogy nincs magyar-magyar pár,
5745=47.

 
III. megoldás. Tekintsük a következő eseményeket:
A: mindhárom magyar csapat külföldi ellenfelet kap;B: az 1. magyar csapat ellenfele a 2. magyar csapat;C: az 1. magyar csapat ellenfele a 3. magyar csapat;D: a 2. magyar csapat ellenfele a 3. magyar csapat.

 
A négy esemény közül pontosan az egyik teljesül, ezért a valószínűségeik összege 1. Egy kiválasztott csapat 7-féle ellenfelet kaphat egyenlő valószínűséggel, ezért a B, C, D események valószínűsége egyaránt 17. A keresett valószínűség tehát
P(A)=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-317=47.