Kezdőlap


Feladat:	3820. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szolnoki Lénárd
Füzet:	2006/február, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállás hőmérsékletfüggése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: 3820. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szén izzószál elektromos ellenállása ‐ mint ahogy a legtöbb más anyagé is ‐ függ a hőmérséklettől, hőfoktényezője azonban negatív: a hőmérséklet növekedtével az ellenállása egyre kisebb lesz. Feltehetően ez okozott problémát a korabeli szénszálas izzólámpák első változatainál is: a felmelegedő izzószál ellenállása csökkenni kezdett, emiatt az adott feszültségre kapcsolt lámpán átfolyó áram egyre nőtt, amitől még jobban lecsökkent az ellenállás és még jobban nőtt az áramerősség $...$ és így tovább, egészen addig, míg a szál el nem égett.
A leírt jelenség (pozitív visszacsatolás) számolással is nyomon követhető. Tételezzük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az izzó ellenállása a hőmérséklettel arányosan változik:

\begin{matrix} R (T) = R_{0} [1 + α (T - T_{0})], \end{matrix}

ahol

R_{0}

T_{0}

-lal jelölt szobahőmérsékleten mért ellenállás,

α < 0

pedig a hőfoktényező. Az izzó által felvett elektromos teljesítmény

\begin{matrix} P_{fel} = \frac{U^{2}}{R (T)}, \end{matrix}

a hővezetéssel leadott teljesítményt pedig

P_{le} = β (T - T_{0})

alakban írhatjuk (

β > 0

állandó). (A magasabb hőmérsékleteken számottevő hősugárzást itt most figyelmen kívül hagyjuk.)
Az izzószál üzemi hőmérsékletét a felvett és a leadott teljesítmény egyenlősége állítja be:

\begin{matrix} \frac{U^{2}}{R_{0} [1 + α (T - T_{0})]} = β (T - T_{0}), \end{matrix}

ami

T - T_{0}

-ra nézve másodfokú egyenlet:

\begin{matrix} α {(T - T_{0})}^{2} + (T - T_{0}) - \frac{U^{2}}{R_{0} β} = 0. \end{matrix}

Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa

α < 0

miatt negatív is lehet:

\begin{matrix} D = 1 + \frac{4 α U^{2}}{R_{0} β} < 0, \end{matrix}

ilyenkor a másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása, tehát nem alakul ki egyensúlyi állapot: a lámpa kiég!
Ha az izzószálban sorosan egy megfelelően választott előtétellenállást is kötünk, akkor elérhetjük, hogy a felvett és a leadott teljesítmény egyensúlyba kerülhessen, és ez az egyensúly éppen a szál világításának legjobban megfelelő hőmérsékletnél álljon be.

II. megoldás. Az előtétellenállás szabályozó szerepét az izzószál feszültség-áram karakterisztikájának vázlatos ábrázolásából is megérthetjük.
Tételezzük fel, hogy az izzószállal sorosan kötöttünk egy olyan előtétellenállást, amely nem melegszik fel számottevően, ezért az ellenállása a hőmérsékletétől (vagyis a rajta átfolyó áram erősségétől) függetlenül

R_{1}

-nek tekinthető. Ha a lámpára

U_{0}

feszültséget kapcsolunk, és az izzószálon eső feszültség valamilyen

U (I)

függvény szerint függ az áramerősségtől, akkor fenn kell álljon a következő összefüggés:

\begin{matrix} U (I) = U_{0} - I R_{1} . \end{matrix}

Ábrázoljuk a fenti egyenlet mindkét oldalát az áramerősség függvényében.

A jobb oldal grafikonja egy, az

I = 0, U = U_{0}

ponton átmenő,

- R_{1}

meredekségű egyenes, ami előtétellenállás nélküli (

R_{1} = 0

) esetben a pontozottan jelölt vízszintes vonallal esne egybe.
Az egyenlet bal oldalának megfelelő grafikon egy olyan görbe, amely átmegy az origón, és ha a szénszál ellenállása nem függne a hőmérséklettől, akkor állandó meredekségű, tehát egyenes lenne (szaggatott vonal). A tényleges helyzet azonban az, hogy az áramerősség növekedtével a szénszál hőmérséklete emelkedik, az ellenállása (tehát az

U (I) / I

hányados) lecsökken. Emiatt a függvény grafikonja egyre jobban eltér az origóbeli érintőjétől, méghozzá ,,lefelé''. Még az is előfordulhat, hogy

U (I)

nem monoton növekvő függvény, hanem valamekkora maximuma van. Ebben az esetben kellően nagy

U_{0}

-nál az előtétellenállás nélküli esetnek megfelelő pontozott vonallal nincs metszéspontja; nem alakul ki stabil egyensúlyi áram. (Pozitív hőfoktényezőjű izzószál, pl. fémszál esetében ez a lehetőség kizárt!) Az előtétellenállást tartalmazó áramkörben azonban (elegendően nagy

R_{1}

esetén) a két görbének biztosan lesz metszéspontja, tehát az áram beáll egy stabil

I^{*}

értékre.

Megjegyzés. A feladat megoldóitól nem vártuk el a fentiekhez hasonlóan részletes, számolással vagy grafikonokkal alátámasztott elemzést. A lényeget helyesen bemutató, de csak kvalitatív érvelést tartalmazó dolgozatok is maximális pontszámot kaptak. ‐ A szerk.