Feladat: 3820. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szolnoki Lénárd 
Füzet: 2006/február, 119 - 120. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellenállás hőmérsékletfüggése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: 3820. fizika feladat

Edison első izzólámpái elszenesített növényi rostból készített izzószállal működtek. Miért kellett ezekkel a lámpákkal egy ellenállást is sorbakötni?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szén izzószál elektromos ellenállása ‐ mint ahogy a legtöbb más anyagé is ‐ függ a hőmérséklettől, hőfoktényezője azonban negatív: a hőmérséklet növekedtével az ellenállása egyre kisebb lesz. Feltehetően ez okozott problémát a korabeli szénszálas izzólámpák első változatainál is: a felmelegedő izzószál ellenállása csökkenni kezdett, emiatt az adott feszültségre kapcsolt lámpán átfolyó áram egyre nőtt, amitől még jobban lecsökkent az ellenállás és még jobban nőtt az áramerősség ... és így tovább, egészen addig, míg a szál el nem égett.
A leírt jelenség (pozitív visszacsatolás) számolással is nyomon követhető. Tételezzük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az izzó ellenállása a hőmérséklettel arányosan változik:

R(T)=R0[1+α(T-T0)],
ahol R0 a T0-lal jelölt szobahőmérsékleten mért ellenállás, α<0 pedig a hőfoktényező. Az izzó által felvett elektromos teljesítmény
Pfel=U2R(T),
a hővezetéssel leadott teljesítményt pedig Ple=β(T-T0) alakban írhatjuk (β>0 állandó). (A magasabb hőmérsékleteken számottevő hősugárzást itt most figyelmen kívül hagyjuk.)
Az izzószál üzemi hőmérsékletét a felvett és a leadott teljesítmény egyenlősége állítja be:
U2R0[1+α(T-T0)]=β(T-T0),
ami T-T0-ra nézve másodfokú egyenlet:
α(T-T0)2+(T-T0)-U2R0β=0.
Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa α<0 miatt negatív is lehet:
D=1+4αU2R0β<0,
ilyenkor a másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása, tehát nem alakul ki egyensúlyi állapot: a lámpa kiég!
Ha az izzószálban sorosan egy megfelelően választott előtétellenállást is kötünk, akkor elérhetjük, hogy a felvett és a leadott teljesítmény egyensúlyba kerülhessen, és ez az egyensúly éppen a szál világításának legjobban megfelelő hőmérsékletnél álljon be.
 
II. megoldás. Az előtétellenállás szabályozó szerepét az izzószál feszültség-áram karakterisztikájának vázlatos ábrázolásából is megérthetjük.
Tételezzük fel, hogy az izzószállal sorosan kötöttünk egy olyan előtétellenállást, amely nem melegszik fel számottevően, ezért az ellenállása a hőmérsékletétől (vagyis a rajta átfolyó áram erősségétől) függetlenül R1-nek tekinthető. Ha a lámpára U0 feszültséget kapcsolunk, és az izzószálon eső feszültség valamilyen U(I) függvény szerint függ az áramerősségtől, akkor fenn kell álljon a következő összefüggés:
U(I)=U0-IR1.
Ábrázoljuk a fenti egyenlet mindkét oldalát az áramerősség függvényében.
 
 

A jobb oldal grafikonja egy, az I=0,U=U0 ponton átmenő, -R1 meredekségű egyenes, ami előtétellenállás nélküli (R1=0) esetben a pontozottan jelölt vízszintes vonallal esne egybe.
Az egyenlet bal oldalának megfelelő grafikon egy olyan görbe, amely átmegy az origón, és ha a szénszál ellenállása nem függne a hőmérséklettől, akkor állandó meredekségű, tehát egyenes lenne (szaggatott vonal). A tényleges helyzet azonban az, hogy az áramerősség növekedtével a szénszál hőmérséklete emelkedik, az ellenállása (tehát az U(I)/I hányados) lecsökken. Emiatt a függvény grafikonja egyre jobban eltér az origóbeli érintőjétől, méghozzá ,,lefelé''. Még az is előfordulhat, hogy U(I) nem monoton növekvő függvény, hanem valamekkora maximuma van. Ebben az esetben kellően nagy U0-nál az előtétellenállás nélküli esetnek megfelelő pontozott vonallal nincs metszéspontja; nem alakul ki stabil egyensúlyi áram. (Pozitív hőfoktényezőjű izzószál, pl. fémszál esetében ez a lehetőség kizárt!) Az előtétellenállást tartalmazó áramkörben azonban (elegendően nagy R1 esetén) a két görbének biztosan lesz metszéspontja, tehát az áram beáll egy stabil I* értékre.
 
Megjegyzés. A feladat megoldóitól nem vártuk el a fentiekhez hasonlóan részletes, számolással vagy grafikonokkal alátámasztott elemzést. A lényeget helyesen bemutató, de csak kvalitatív érvelést tartalmazó dolgozatok is maximális pontszámot kaptak. ‐ A szerk.