Kezdőlap


Feladat:	B.3812	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kónya Gábor
Füzet:	2007/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számsorok, Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: B.3812

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Adott pozitív egész $n$ számra jelölje $f (n)$ az $n!$ prímtényezős felbontásában a 7 kitevőjét. Feladatunk $a)$ az $f (n) = 399$ ; $b)$ az $f (n) = 400$ egyenletek megoldása.
Ha két számot összeszorzunk, akkor a prímtényezős felbontásban a 7-es kitevők összeadódnak. Ezért $f (n)$ -et úgy is kiszámolhatjuk, hogy az első $n$ szám prímtényezős felbontásában a 7 kitevőit összeadjuk. Ez úgy is megtehető, hogy 1-től $n$ -ig minden számot annyiszor számolunk össze, amennyi az illető szám prímtényezős felbontásában a 7 kitevője.
Vegyük először az összes 7-tel osztható számot. Ezek száma: $[\frac{n}{7}]$ . Ekkor minden kitevőből még csak 1-et számoltunk be. De a $7^{2}$ -nel osztható számokban a 7 kitevője legalább 2, így ezek számát, $[\frac{n}{7^{2}}]$ -t hozzá kell adnunk az előző értékhez. Ezután a $7^{3}$ -nal osztható számok 7-esei közül még mindig nem számoltuk be a ,,harmadikat'', így még $[\frac{n}{7^{3}}]$ -t is hozzá kell adni stb. Ezzel a módszerrel

\begin{matrix} f (n) = [\frac{n}{7}] + [\frac{n}{7^{2}}] + [\frac{n}{7^{3}}] + ..., \end{matrix}

ahol a végtelen tagú összegnek csak véges sok 0-tól különböző tagja van.
A megoldandó egyenletekhez az egész rész miatt közvetlenül nehezen férhetnénk hozzá. Kihasználva, hogy

f (n)

monoton nő, az egyenleteket közelítések és némi próbálgatás segítségével megoldhatjuk. A monotonitást kihasználva beláthatjuk, hogy több megoldása nincs az egyenletnek.
Világos, hogy

\begin{matrix} f (n) = [\frac{n}{7}] + [\frac{n}{7^{2}}] + [\frac{n}{7^{3}}] + ... \leq \frac{n}{7} + \frac{n}{7^{2}} + \frac{n}{7^{3}} + ... = \frac{1}{7} \cdot \frac{n}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{n}{6} . \end{matrix}

(A mértani sor összegképlete alapján.)
Az is látható, hogy

f (n)

nem jelentősen tér el ettől az értéktől, tehát mivel

f (n)

értéke mindkét egyenletben 400 körül van, az

n

értékét

6 \cdot 400 = 2400

körül keressük.

\begin{matrix} f (2400) = [\frac{2400}{7}] + [\frac{2400}{7^{2}}] + [\frac{2400}{7^{3}}] + ... = 342 + 48 + 6 + 0 + 0 + ... = 396. \end{matrix}

Ez mind az

a)

, mind a

b)

esetben kevés. Mivel

f (n)

monoton nő, 1-gyel nagyobb

n

-et választunk:

\begin{matrix} f (2401) & = [\frac{2401}{7}] + [\frac{2401}{7^{2}}] + [\frac{2401}{7^{3}}] + [\frac{2401}{7^{4}}] + ... = \\ = 343 + 49 + 7 + 1 + 0 + 0 + ... = 400. \end{matrix}

a)

esetben ez már túl sok, a

b)

esetben éppen megfelel. A monotonitás miatt az

a)

esetben nincs megoldás. A

b)

esetben 2401 a legkisebb megoldás. Ha

n

értékét egyesével növeljük,

f (n)

értéke csak a 7-tel osztható számoknál nő, két szomszédos 7-tel osztható szám között konstans. A 2401 után következő első 7-tel osztható szám a 2408, ezért a

b)

egyenlet megoldásai a

[2401; 2407]

tartomány egész számai. A monotonitás miatt több megoldás nincs.
Összefoglalva:

a)

nincs megoldás

b)

n \in {2401; 2402; ...; 2407}