Feladat: B.3812 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kónya Gábor 
Füzet: 2007/január, 14 - 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Számsorok, Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: B.3812

Adjuk meg az összes olyan pozitív egész n számot, amelyre
a) 7399n!, de 7400n!, illetve
b) 7400n!, de 7401n!.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Adott pozitív egész n számra jelölje f(n) az n! prímtényezős felbontásában a 7 kitevőjét. Feladatunk a) az f(n)=399; b) az f(n)=400 egyenletek megoldása.
Ha két számot összeszorzunk, akkor a prímtényezős felbontásban a 7-es kitevők összeadódnak. Ezért f(n)-et úgy is kiszámolhatjuk, hogy az első n szám prímtényezős felbontásában a 7 kitevőit összeadjuk. Ez úgy is megtehető, hogy 1-től n-ig minden számot annyiszor számolunk össze, amennyi az illető szám prímtényezős felbontásában a 7 kitevője.
Vegyük először az összes 7-tel osztható számot. Ezek száma: [n7]. Ekkor minden kitevőből még csak 1-et számoltunk be. De a 72-nel osztható számokban a 7 kitevője legalább 2, így ezek számát, [n72]-t hozzá kell adnunk az előző értékhez. Ezután a 73-nal osztható számok 7-esei közül még mindig nem számoltuk be a ,,harmadikat'', így még [n73]-t is hozzá kell adni stb. Ezzel a módszerrel

f(n)=[n7]+[n72]+[n73]+...,
ahol a végtelen tagú összegnek csak véges sok 0-tól különböző tagja van.
A megoldandó egyenletekhez az egész rész miatt közvetlenül nehezen férhetnénk hozzá. Kihasználva, hogy f(n) monoton nő, az egyenleteket közelítések és némi próbálgatás segítségével megoldhatjuk. A monotonitást kihasználva beláthatjuk, hogy több megoldása nincs az egyenletnek.
Világos, hogy
f(n)=[n7]+[n72]+[n73]+...n7+n72+n73+...=17n1-17=n6.
(A mértani sor összegképlete alapján.)
Az is látható, hogy f(n) nem jelentősen tér el ettől az értéktől, tehát mivel f(n) értéke mindkét egyenletben 400 körül van, az n értékét 6400=2400 körül keressük.
f(2400)=[24007]+[240072]+[240073]+...=342+48+6+0+0+...=396.
Ez mind az a), mind a b) esetben kevés. Mivel f(n) monoton nő, 1-gyel nagyobb n-et választunk:
f(2401)=[24017]+[240172]+[240173]+[240174]+...==343+49+7+1+0+0+...=400.

Az a) esetben ez már túl sok, a b) esetben éppen megfelel. A monotonitás miatt az a) esetben nincs megoldás. A b) esetben 2401 a legkisebb megoldás. Ha n értékét egyesével növeljük, f(n) értéke csak a 7-tel osztható számoknál nő, két szomszédos 7-tel osztható szám között konstans. A 2401 után következő első 7-tel osztható szám a 2408, ezért a b) egyenlet megoldásai a [2401;2407] tartomány egész számai. A monotonitás miatt több megoldás nincs.
Összefoglalva:
a) nincs megoldás
b) n{2401;2402;...;2407}.