Kezdőlap


Feladat:	B.3808	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Árvay Anna , Szalkai Balázs
Füzet:	2006/március, 150 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: B.3808

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyenlet két oldalán nemnegatív számok állnak, így gyököt vonhatunk. Mivel $x$ és $y$ a $[0; 12]$ intervallumban vannak, a jobb oldal négyzetgyöke $(12 - x) (12 - y) = 12^{2} - 12 (x + y) + x y$ . Így azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{x y} = 12^{2} - 12 (x + y) + x y = 12^{2} - 24 \frac{x + y}{2} + x y . \end{matrix}

(1)

A jobb oldal nem csökken, ha

x

és

y

számtani közepe helyére az annál nem nagyobb mértani közepüket írjuk:

\begin{matrix} \sqrt[]{x y} \leq 12^{2} - 24 \sqrt[]{x y} + x y . \end{matrix}

t = \sqrt[]{x y}

változót helyettesítve innen a

\begin{matrix} 0 \leq 12^{2} - 25 t + t^{2} = (t - 9) (t - 16) \end{matrix}

másodfokú egyenlőtlenség adódik. Mivel

\begin{matrix} 0 \leq t = \sqrt[]{x y} \leq \frac{x + y}{2} \leq 12, \end{matrix}

azért a

t

változó is a

[0; 12]

intervallumba esik. Ezen a halmazon a

0 \leq (t - 9) (t - 16)

egyenlőtlenség megoldása a

[0; 9]

intervallum. Ebből következik, hogy a feladat változóira

\sqrt[]{x y} \leq 9

, azaz

x y \leq 81

.
Az egyenlőség lehetséges, ugyanis

\sqrt[]{x y} = 9

esetén akkor és csak akkor teljesülnek a feladat feltételei, ha (1) fennáll, azaz

\begin{matrix} 9 = 12^{2} - 24 \frac{x + y}{2} + 81, tehát \frac{x + y}{2} = 9. \end{matrix}

A vizsgált szorzat értéke tehát lehet 81, úgy, ha a változók számtani és mértani közepe is 9, azaz

x = y = 9

.
A megadott feltételek mellett tehát 81 az

x y

szorzat legnagyobb értéke.

II. megoldás. Az egyenlet egy

H

ponthalmaz egyenlete a derékszögű koordinátarendszerben. A

H

halmaz benne van abban a 12 egység oldalú négyzetben, amelynek egyik csúcsa az origó, oldalai a koordinátatengelyek pozitív felére illeszkednek. Ezen a halmazon kell megkeresnünk az

x y

szorzat maximális értékét, úgynevezett feltételes szélsőérték feladattal állunk szemben.
Azt bizonyítjuk be, hogy a

H

halmaz bármely

P (x; y)

pontjára

\begin{matrix} x + y \leq 18. \end{matrix}

(2)

Innen azonnal adódik a válasz a feladat kérdésére: a számtani és mértani közepek egyenlőtlensége szerint ugyanis

\begin{matrix} x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} \leq 9^{2} = 81, \end{matrix}

és ha

x = y = 9

, akkor mindkét egyenlőtlenségben egyenlőség van; az

x y

szorzat legnagyobb értéke 81.
Nyilván elegendő (2)-t abban az esetben igazolni, ha

x \geq 6

, hiszen

y \leq 12

. Állításunkat kétféleképpen is átrendezhetjük:

y \leq 18 - x

, illetve

x - 6 \leq 12 - y

, sőt, megjegyzésünk szerint az utóbbit most négyzetre is emelhetjük. Ez azt jelenti, hogy akár

y \leq 18 - x

, azaz

\begin{matrix} x y \leq x (18 - x), \end{matrix}

(3)

akár pedig

{(x - 6)}^{2} \leq {(12 - y)}^{2}

, azaz

\begin{matrix} {(12 - x)}^{2} {(x - 6)}^{2} \leq {(12 - x)}^{2} {(12 - y)}^{2} \end{matrix}

(4)

teljesül, ebből következik a bizonyítandó állítás. A

H

halmazon (3) bal oldala egyenlő (4) jobb oldalával, így végül elég megmutatnunk, hogy ha

6 \leq x \leq 12

, akkor

\begin{matrix} {(12 - x)}^{2} {(x - 6)}^{2} \leq x (18 - x) . \end{matrix}

(5)

Legyen

s = x - 9

. Ekkor

s \in [- 3; 3]

és azt kell igazolnunk, hogy

\begin{matrix} {(s - 3)}^{2} {(s + 3)}^{2} \leq (s + 9) (9 - s) . \end{matrix}

A műveleteket elvégezve és rendezve:

\begin{matrix} s^{4} - 17 s^{2} = s^{2} (s^{2} - 17) \leq 0. \end{matrix}

A második tényező negatív a

[- 3; 3]

intervallumon, az első pedig nem az. Az (5) állítást bebizonyítottuk, a megoldást befejeztük.

Megjegyzés. Az ábrán a

H

halmaz látható. A görbe nyilván szimmetrikus az

y = x

egyenesre. Az ábráról leolvashatók a fenti bizonyítás állításai.

III. megoldás. Azt igazoljuk, hogy ha a

[0; 12]

intervallumba eső

x

y

számokra teljesül a feladat egyenlősége, akkor

x y \leq 81

. Ebből következik, hogy a szorzat maximális értéke 81, hiszen

x = y = 9

választással mindenütt egyenlőség teljesül.
A bizonyítás indirekt. Tegyük fel, hogy van olyan

x

y

számpár, amelyre

0 \leq x, y \leq 12

és

\begin{matrix} {(12 - x)}^{2} {(12 - y)}^{2} = x y > 81. \end{matrix}

Jegyezzük meg, hogy ebben az esetben

0 < x, y < 12

és így az

x

y

(12 - x)

(12 - x)

mennyiségek mindegyike pozitív. Négyzetgyököt vonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} (12 - x) (12 - y) > 9. \end{matrix}

Mindkét tényező pozitív, azért innen következik, hogy

\begin{matrix} 12 - \frac{9}{12 - x} > y . \end{matrix}

A pozitív

x

-szel szorozva és ismét használva az indirekt feltevést

\begin{matrix} x (12 - \frac{9}{12 - x}) > x y > 81. \end{matrix}

Az utolsó egyenlőtlenségben a pozitív

(12 - x)

-szel szorozva és rendezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} - 4 x^{2} + 72 x - 18^{2} = - {(2 x - 18)}^{2} > 0, \end{matrix}

ami nyilván lehetetlen. A bizonyítást ezzel befejeztük, a megadott feltételek esetén az

x y

szorzat valóban nem vehet fel 81-nél nagyobb értéket.