Feladat: B.3840 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Nagy János 
Füzet: 2006/február, 96. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térelemek és részeik, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: B.3840

Ismeretes, hogy egy tetraéder lapsíkjai 15 részre osztják a teret. E részek közül legfeljebb hányba metszhet bele egy egyenes?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy egyenes egy térrészből pontosan akkor kerül át egy másikba, ha átdöf legalább egy lapsíkot. Ez legfeljebb négyszer történhet meg, mert a tetraédernek négy lapsíkja van. A négy el is érhető, ha olyan egyenest választunk, amely egyik síkkal sem párhuzamos és a tetraéder egyik oldalélét sem metszi. Minden ilyen egyenes öt térrészbe metsz bele, tehát a feladat kérdésére a válasz: öt.
Könnyen találhatunk megfelelő egyenest az alábbi módon. Legyen P az ABCD tetraéder BCD lapjának egy belső pontja. Az AB, AC egyenesek az ABC síkot négy részre osztják. Az ABC háromszöget tartalmazó résszel szemközti részben válasszunk egy olyan Q pontot, amely nem illeszkedik az APD síkra. Látható, hogy a PQ egyenes mind a négy síkot metszi, de nem metszi az AB, AC, AD, BC, BD, CD egyenesek egyikét sem.