Feladat: B.3761 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baranyai J. Attila ,  Bogár Péter ,  Cseh Ágnes ,  Dömötör Erika ,  Eckert Bernadett ,  Fegyverneki Dániel ,  Hujter Bálint ,  Károlyi Márton ,  Kerényi Péter ,  Keresztesi Luca ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Komáromy Dani ,  Kónya Gábor ,  Korándi Dániel ,  Lorántfy Bettina ,  Maros Máté Előd ,  Nagy Csaba ,  Nagy Péter ,  Németh Attila György ,  Rábai András ,  Radnai András ,  Strenner Balázs ,  Szabó András László ,  Szalóki Dávid ,  Tomon István ,  Ureczky Bálint 
Füzet: 2006/február, 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: B.3761

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
1x+12y=(x2+3y2)(3x2+y2),1x-12y=2(y4-x4).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Végezzük el a kijelölt műveleteket az egyenletek jobb oldalán:

1x+12y=3x4+10x2y2+3y4(1)1x-12y=2y4-2x4.(2)
A két egyenlet összegét szorozzuk meg x-szel, a különbségüket pedig y-nal. (x és y nyilván nem 0.) Így azt kapjuk, hogy
2=x5+10x3y2+5xy4(3)1=5x4y+10x2y3+y5.(4)
Vegyük észre, hogy most kapott egyenleteink jobb oldalán éppen
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
binomiális kifejtésének tagjai állnak: a (3) egyenlet jobb oldalán azok, amelyekben az y kitevője páros, a (4) egyenletben pedig azok, ahol ez a kitevő páratlan. A két jobb oldal összege tehát éppen (x+y)5, a különbségük pedig (x-y)5:
3=(x+y)5,azaz35=x+yés1=(x-y)5,azaz1=x-y.
Innen az egyenletrendszer megoldása:
x=35+12ésy=35-12.