A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Illesszük a kocka még egy példányát, -t az laphoz az 1. ábra szerint. Az így adódó hasáb , , csúcsain átmenő sík nyilván áthalad a és az pontokon is, így azonos a metsző síkkal. Ez a sík a hasáb felületét az lapátlókban metszi. A kockában ez a síkmetszet egy négyszög, amelynek és csúcsai felezik az és az szakaszokat. A tehát középvonal az egyenlő szárú háromszögben, a síkmetszet tehát szimmetrikus trapéz. Nagyobbik alapja, a kocka lapátlója, míg a másik, ennek fele. A szárak, és közös hossza a hasáb lapátlójának a fele.
1. ábra A trapéz magassága fele az egyenlő szárú háromszög magasságának. Pitagorasz tétele szerint | | így a trapéz magassága . A trapéz területe
Megjegyzések. 1. A síkmetszet szimmetrikus trapéz volta abból is következik, hogy a kocka és a metsző sík együttese szimmetrikus a kocka átlósíkjára. 2. Ha felhasználjuk a Pitagorasz-tételnek azt a térbeli kiterjesztését, amely szerint ha egy síkidomot három páronként merőleges síkra vetítünk, akkor a vetületek területének négyzetösszege a síkidom területének a négyzete, akkor gyorsabban célhoz érünk. A 2. ábrán a trapéz vetületei láthatók a kocka három lapján. A két egybevágó vetület területe a kockalap területének a -e, a harmadik pedig ennek fele, . A trapéz területének a négyzete így | | ahonnan ismét az előző eredményt kapjuk.
2. ábra A metsző sík két testre vágja a kockát. Egyikük egy csonkagúla, melynek fedőlapjai egyenlő szárú derékszögű háromszögek. A két kockából álló hasábban a gúla a gúlává egészíti ki ezt a csonkagúlát. A két gúla középpontosan hasonló, a hasonlóság aránya . A térfogatuk aránya így ennek a köbe, , a -beli csonkagúla térfogata tehát a -a a gúla térfogatának, ami a kocka térfogatának a harmada. ( lapjának területe a kockalap fele, az ehhez tartozó magassága pedig a kockaél kétszerese.) A csonkagúla térfogata tehát a kocka térfogatának a -e, így a részek térfogatának az aránya .
Megjegyzés. Természetesen okoskodhattunk volna a csonkagúla ismert térfogatképlete szerint is. |