Feladat: C.809 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2006/február, 87 - 88. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Csonkagúlák, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: C.809

Az egységnyi élű ABCDEFGH kocka AE élének felezőpontja P, a BCGF lap középpontja R.
 
 

a) Mekkora területű síkidomban metszi a kockát a P, B, R pontokon átmenő sík?
b) A fenti sík két testre vágja a kockát. Mennyi a részek térfogatának az aránya?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Illesszük a K kocka még egy példányát, K'-t az ADHE laphoz az 1. ábra szerint. Az így adódó hasáb M, B, G csúcsain átmenő sík nyilván áthalad a P és az R pontokon is, így azonos a metsző síkkal. Ez a sík a hasáb felületét az MG,MB,BG lapátlókban metszi. A K kockában ez a síkmetszet egy négyszög, amelynek P és Q csúcsai felezik az MB és az MG szakaszokat. A PQ tehát középvonal az egyenlő szárú MGB háromszögben, a BPQG síkmetszet tehát szimmetrikus trapéz. Nagyobbik alapja, BG a kocka lapátlója, míg a másik, PQ ennek fele. A szárak, QG és PB közös hossza a hasáb MG lapátlójának a fele.

 
 

1. ábra
 

a) A trapéz magassága fele az egyenlő szárú MGB háromszög MR magasságának. Pitagorasz tétele szerint
MR2=MG2-GR2=MF2+FG2-GR2=4+1-12=92,
így a trapéz magassága h=324. A trapéz területe
t=h2(PQ+BG)=328322=98.

 
Megjegyzések. 1. A síkmetszet szimmetrikus trapéz volta abból is következik, hogy a kocka és a metsző sík együttese szimmetrikus a kocka EFCD átlósíkjára.
2. Ha felhasználjuk a Pitagorasz-tételnek azt a térbeli kiterjesztését, amely szerint ha egy síkidomot három páronként merőleges síkra vetítünk, akkor a vetületek területének négyzetösszege a síkidom területének a négyzete, akkor gyorsabban célhoz érünk. A 2. ábrán a trapéz vetületei láthatók a kocka három lapján. A két egybevágó vetület területe a kockalap területének a 34-e, a harmadik pedig ennek fele, 38. A trapéz területének a négyzete így
t2=2(34)2+(38)2=98+964=8164,
ahonnan ismét az előző eredményt kapjuk.
 
 

2. ábra
 

b) A metsző sík két testre vágja a K kockát. Egyikük egy csonkagúla, melynek fedőlapjai egyenlő szárú derékszögű háromszögek. A két kockából álló hasábban a QEPM gúla a GFBM gúlává egészíti ki ezt a csonkagúlát. A két gúla középpontosan hasonló, a hasonlóság aránya 1:2. A térfogatuk aránya így ennek a köbe, 1:8, a K-beli csonkagúla térfogata tehát a 78-a a GFBM gúla térfogatának, ami a kocka térfogatának a harmada. (GFB lapjának területe a kockalap fele, az ehhez tartozó MF magassága pedig a kockaél kétszerese.) A csonkagúla térfogata tehát a kocka térfogatának a 724-e, így a részek térfogatának az aránya 7:17.
 
Megjegyzés. Természetesen okoskodhattunk volna a csonkagúla ismert térfogatképlete szerint is.