Kezdőlap


Feladat:	3806. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kónya Gábor
Füzet:	2006/január, 52 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Gravitációs helyzeti energia, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: 3806. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Jelöljük a kötél végeinek rögzítési pontjait $F_{1}$ -gyel és $F_{2}$ -vel. A csiga ezen pontoktól mért távolságának összege $2 a = 75$ m, vagyis állandó, tehát a csiga $2 a$ nagytengelyű ellipszispályán (pontosabban annak egy részén) mozog.

Az ellipszis fókuszpontjainak távolsága

2 c = 60

m, így az ellipszis jellemző adatai:

\begin{matrix} a = 37, 5 m, c = 30 m, b = \sqrt[]{a^{2} - c^{2}} = 22, 5 m . \end{matrix}

F_{1} F_{2} A

derékszögű háromszögből Pitagorasz tétele segítségével kiszámíthatjuk a

h = F_{1} A

távolságot:

\begin{matrix} {(2 a - h)}^{2} = {(2 c)}^{2} + h^{2}, ahonnan h = \frac{a^{2} - c^{2}}{a} = 13, 5 m . \end{matrix}

A katona sebessége a pálya legalsó,

B

pontjánál lesz a legnagyobb, nevezetesen (az energiamegmaradás tétele alapján számolva):

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g (b - h)} = 13, 3 \frac{m}{s} . \end{matrix}

b)

A pálya legmélyebb pontjában a kötelet feszítő erőt jelöljük

K

-val, a köteleknek a függőlegessel bezárt szögét

α

-val, az ellipszis görbületi sugarát pedig

R

-rel! A katona mozgásegyenlete a

B

pontban:

\begin{matrix} m \frac{v^{2}}{R} = 2 K cos α - m g . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

cos α = \frac{b}{a}

, továbbá a görbületi sugár a kistengely végpontjában

R = \frac{a^{2}}{b}

, a keresett kötélerő:

\begin{matrix} K = \frac{m g}{2} (\frac{2 (b - h)}{a} + \frac{a}{b}) \approx 950 N. \end{matrix}

Megjegyzés. A görbületi sugárra vonatkozó képlet helyességét a következő fizikai megfontolással láthatjuk be. Képzeljük el, hogy egy test vízszintes irányban

a

amplitúdójú és

ω

körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez, függőlegesen pedig ugyancsak

ω

körfrekvenciával, de

b

amplitúdóval és a vízszintes mozgáshoz képest

90^{\circ}

-kal eltolt fázissal rezeg:

\begin{matrix} x (t) = a cos (ω t), y (t) = b sin (ω t) . \end{matrix}

Ez a test

a

és

b

féltengelyű ellipszis alakú pályán mozog, hiszen fennáll, hogy

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

A pálya legmélyebb pontjában a test sebessége vízszintes, nagysága

v = a ω

, gyorsulása pedig függőlegesen felfelé irányuló és

b ω^{2}

nagyságú. Másrészt viszont egy

R

sugarú pályán

v

sebességgel mozgó test centripetális gyorsulása

\frac{v^{2}}{R}

. A gyorsulásra kapott kétféle képletet összehasonlítva

\begin{matrix} \frac{{(a ω)}^{2}}{R} = b ω^{2}, ahonnan R = \frac{a^{2}}{b} . \end{matrix}

Mivel a görbületi sugár a görbére jellemző geometriai adat, ami nem függ a görbe mentén mozgó test mozgásformájától, a harmonikus rezgőmozgásból kapott képlet a feladatunkban szereplő katona bonyolultabb mozgására is alkalmazható.