Feladat: 3806. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kónya Gábor 
Füzet: 2006/január, 52 - 54. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb kényszermozgás, Gravitációs helyzeti energia, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/május: 3806. fizika feladat

Egy katonának csigán függeszkedve kötélpályán kell átkelnie egy 60m széles folyó felett. A kötél hossza 75m, végeit a folyó két partján ugyanolyan magasságban rögzítették. A katona, akinek tömege a felszerelésével együtt 90kg, az egyik rögzítési pont alatti emelvényről indul, kezdősebessége nulla.
 
 

a) Mekkora a katona legnagyobb sebessége az átkelés során?
b) Milyen nagy ebben a pillanatban a kötelet feszítő erő?
(A kötelet tekintsük nyújthatatlannak, tömegétől és a súrlódástól tekintsünk el!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Jelöljük a kötél végeinek rögzítési pontjait F1-gyel és F2-vel. A csiga ezen pontoktól mért távolságának összege 2a=75 m, vagyis állandó, tehát a csiga 2a nagytengelyű ellipszispályán (pontosabban annak egy részén) mozog.

 
 

Az ellipszis fókuszpontjainak távolsága 2c=60 m, így az ellipszis jellemző adatai:
a=37,5m,c=30m,b=a2-c2=22,5m.
Az F1F2A derékszögű háromszögből Pitagorasz tétele segítségével kiszámíthatjuk a h=F1A távolságot:
(2a-h)2=(2c)2+h2,ahonnanh=a2-c2a=13,5m.

A katona sebessége a pálya legalsó, B pontjánál lesz a legnagyobb, nevezetesen (az energiamegmaradás tétele alapján számolva):
v=2g(b-h)=13,3ms.

b) A pálya legmélyebb pontjában a kötelet feszítő erőt jelöljük K-val, a köteleknek a függőlegessel bezárt szögét α-val, az ellipszis görbületi sugarát pedig R-rel! A katona mozgásegyenlete a B pontban:
mv2R=2Kcosα-mg.
Felhasználva, hogy cosα=ba, továbbá a görbületi sugár a kistengely végpontjában R=a2b, a keresett kötélerő:
K=mg2(2(b-h)a+ab)950N.  

 
Megjegyzés. A görbületi sugárra vonatkozó képlet helyességét a következő fizikai megfontolással láthatjuk be. Képzeljük el, hogy egy test vízszintes irányban a amplitúdójú és ω körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez, függőlegesen pedig ugyancsak ω körfrekvenciával, de b amplitúdóval és a vízszintes mozgáshoz képest 90-kal eltolt fázissal rezeg:
x(t)=acos(ωt),y(t)=bsin(ωt).
Ez a test a és b féltengelyű ellipszis alakú pályán mozog, hiszen fennáll, hogy
x2a2+y2b2=1.
A pálya legmélyebb pontjában a test sebessége vízszintes, nagysága v=aω, gyorsulása pedig függőlegesen felfelé irányuló és bω2 nagyságú. Másrészt viszont egy R sugarú pályán v sebességgel mozgó test centripetális gyorsulása v2R. A gyorsulásra kapott kétféle képletet összehasonlítva
(aω)2R=bω2,ahonnanR=a2b.
Mivel a görbületi sugár a görbére jellemző geometriai adat, ami nem függ a görbe mentén mozgó test mozgásformájától, a harmonikus rezgőmozgásból kapott képlet a feladatunkban szereplő katona bonyolultabb mozgására is alkalmazható.