Feladat: 3799. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nyíri Dávid 
Füzet: 2006/január, 51 - 52. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontszerű töltés térerőssége, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: 3799. fizika feladat

R sugarú feltöltött fémgömbhöz egy r sugarú töltetlen fémgömböt érintünk, majd kellően eltávolítjuk őket egymástól. Ezután az előző, R sugarú fémgömbhöz egy ugyancsak R sugarú, de töltetlen fémgömböt érintünk, majd a három gömböt egymástól elég távol úgy helyezzük el, hogy a középpontjaik szabályos háromszöget alkossanak. Milyen irányú lesz a térerősség a háromszög középpontjában?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az R sugarú fémgömb kezdeti töltését Q-val. Amikor összeérintjük ezt a gömböt az r sugarúval, akkor addig áramlik át töltés a kis gömbre, amíg azonos potenciálra kerülnek. Ha a két fémgömböt egy-egy gömbkondenzátornak tekintjük, melyeket párhuzamosan kapcsoltunk, akkor a rajtuk levő össztöltés a kapacitásaik, vagyis a sugaraik arányában oszlik meg; a kisebb gömbre Qr=QrR+r, a nagyobbra QRR+r töltés jut.

 
 

A második összeérintésnél a nagy gömbön levő töltés fele-fele arányban szétoszlik a két egyforma sugarú fémgömbön, tehát mindegyikre QR=QR2(R+r) töltés kerül.
Az egymástól kellő távolságra elhelyezett fémgömbök által létrehozott elektromos térerősség a szabályos háromszög középpontjában nyilván a szaggatott vonallal jelölt szimmetriatengely irányába fog mutatni.
Ha Q>0, tehát a gömbökre pozitív töltést juttattunk, továbbá R>2r, akkor az eredő térerősség a kis gömb felé mutat. Ugyanilyen irányú lesz a térerősség, ha Q<0 és R<2r.
Amennyiben R=2r, úgy a háromszög középpontjában a térerősség nulla lesz, ha pedig Q(R-2r)<0, akkor az eredő tér a kis gömbbel ellentétes irányba mutat.
 
Megjegyzés. A megoldás során feltettük, hogy a fémgömbök első összeérintésénél a töltés a gömbök sugarának arányában oszlik szét a két testen. Ez nem pontosan, legfeljebb csak bizonyos közelítésben igaz, hiszen a feltöltött fémgömbök kölcsönösen eltorzítják egymás töltéseloszlását, megosztást idéznek elő egymáson. Ennek a jelenségnek pontos számítással történő leírása matematikailag igen bonyolult feladat.
A második összeérintésnél is bonyolult töltéseloszlás alakul ki a fémgömbökön, de ez nem befolyásolja azt a tényt, hogy a szimmetria miatt az R sugarú gömbön levő töltésnek éppen a fele kerül át a másik, ugyancsak R sugarú fémgömbre.