Kezdőlap


Feladat:	3796. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Filep Tamás , Pásztor Attila , Széchenyi Gábor
Füzet:	2006/január, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: 3796. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A kívánt mozgás létrejöttének két feltétele van:
1. A kis test végigcsúszik a lejtőn, tehát a mozgása során a rugó nem emeli fel a lejtőről.
2. A kis test pontosan a lejtő alján áll meg, korábban a sebessége sehol nem csökkenhet nullára.
Az energiamegmaradás törvénye kapcsolatot teremt a test tömege, a rugóállandó, a lejtő magassága és a hajlásszög között:

\begin{matrix} \frac{1}{2} D h^{2} {(ctg α - 1)}^{2} = m g h . \end{matrix}

(1)

Az 1. feltétel teljesüléséhez a test és a lejtő közötti nyomóerőt kell megvizsgálnunk; ennek az erőnek nem szabad negatív értéket felvennie. A nyomóerő akkor a legkisebb, amikor a rugó éppen merőleges a lejtőre (ekkor legnagyobb a rugó által kifejtett erő, és a rugóerő iránya is éppen olyan, hogy a legnagyobb mértékben csökkentse a kis test és a lejtő közötti erőt). A lejtőn maradás feltétele:

\begin{matrix} D h (1 - cos α) \leq m g cos α, \end{matrix}

amit (1)-gyel összevetve a hajlássszögre az

\begin{matrix} 1 - cos α \leq \frac{cos α}{2} {(ctg α - 1)}^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk. Ennek numerikus megoldásával (néhány érték behelyettesítésével, majd a határeset egyre pontosabb behatárolásával)

\begin{matrix} α \leq α_{krit} \approx 32, 0^{\circ} \end{matrix}

(2)

adódik.
A második feltétel teljesüléséhez a test energiaviszonyait kell megvizsgálnunk. Tételezzük fel, hogy a kis test a valamekkora út megtétele után megáll. Ha ez

k \cdot h

magasságban, azaz

(1 - k) h ctg α

vízszintes elmozdulás után következik be, akkor a rugó hossza ebben a helyzetben

h \sqrt[]{k^{2} + {(1 - k)}^{2} ctg^{2} α}

lesz, s így az energiamegmaradás tétele szerint fennáll

\begin{matrix} \frac{1}{2} D {(h \sqrt[]{k^{2} + {(1 - k)}^{2} ctg^{2} α} - h)}^{2} = m g (1 - k) h . \end{matrix}

Innen (1) felhasználásával a

\begin{matrix} {(\sqrt[]{k^{2} + {(1 - k)}^{2} ctg^{2} α} - 1)}^{2} = (1 - k) {(ctg α - 1)}^{2} \end{matrix}

(3)

összefüggést kapjuk. Ennek az egyenletnek (tetszőleges

α

mellett)

k = 0

és

k = 1

megoldása, ezek az indulás helyének és a lejtő aljának felelnek meg. Amennyiben (3) egyenletnek van más megoldása is a

0 < k < 1

intervallumon, úgy a kis test nem érkezhet le a lejtő aljához, sebessége már hamarabb nullává válik.

Megjegyzés. Ez biztosan bekövetkezik, ha

α > 45^{\circ}

. Ilyenkor ugyanis a kis testnek át kellene haladnia egy olyan helyzeten, amelynél a rugó éppen olyan hosszú, mint a legalsó, vízszintes állapotában. Ez nem lehetséges, mert a kérdéses helyzetben a rugóenergia ugyanakkora, a test helyzeti energiája pedig nagyobb, mint vízszintes rugóállásnál; a kis test mozgási energiája tehát kisebb kellene legyen, mint a lejtő aljánál érvényes nulla érték.

A (3) egyenlet grafikus ‐ vagy akár algebrai ‐ vizsgálata azt mutatja, hogy

α < 45^{\circ}

esetén nincs megoldása

0 < k < 1

-ra, így a (2) feltétel által már élesebben korlátozott tartományban nem fordulhat elő, hogy a kis test a lejtőn valahol megáll.
A lejtő alján a rugóerő

D h (ctg α - 1)

, ennek lejtő irányú, felfelé húzó komponense

D h (ctg α - 1) cos α

. A kis testre ható nehézségi erő

m g sin α

összetevője lefelé húzza a testet, az eredőből számolt gyorsulás tehát

\begin{matrix} a = \frac{D h}{m} (ctg α - 1) cos α - g sin α, \end{matrix}

ami (1) felhasználásával így is írható:

\begin{matrix} a = [\frac{2 cos α}{ctg α - 1} - sin α] g . \end{matrix}