Feladat: 3796. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Filep Tamás ,  Pásztor Attila ,  Széchenyi Gábor 
Füzet: 2006/január, 50 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: 3796. fizika feladat

Egy h magasságú lejtőn súrlódásmentesen csúszik le egy kis test, amely egy D rugóállandójú, kezdetben nyújtatlan húzó-nyomó rugóval csatlakozik a lejtő alján lévő P ponthoz. A test a lejtő alján éppen megáll. Mekkora lehet a lejtő α hajlásszöge? Mekkora gyorsulással indul vissza az m tömegű test?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A kívánt mozgás létrejöttének két feltétele van:
1. A kis test végigcsúszik a lejtőn, tehát a mozgása során a rugó nem emeli fel a lejtőről.
2. A kis test pontosan a lejtő alján áll meg, korábban a sebessége sehol nem csökkenhet nullára.
Az energiamegmaradás törvénye kapcsolatot teremt a test tömege, a rugóállandó, a lejtő magassága és a hajlásszög között:

12Dh2(ctgα-1)2=mgh.(1)

Az 1. feltétel teljesüléséhez a test és a lejtő közötti nyomóerőt kell megvizsgálnunk; ennek az erőnek nem szabad negatív értéket felvennie. A nyomóerő akkor a legkisebb, amikor a rugó éppen merőleges a lejtőre (ekkor legnagyobb a rugó által kifejtett erő, és a rugóerő iránya is éppen olyan, hogy a legnagyobb mértékben csökkentse a kis test és a lejtő közötti erőt). A lejtőn maradás feltétele:
Dh(1-cosα)mgcosα,
amit (1)-gyel összevetve a hajlássszögre az
1-cosαcosα2(ctgα-1)2
egyenlőtlenséget kapjuk. Ennek numerikus megoldásával (néhány érték behelyettesítésével, majd a határeset egyre pontosabb behatárolásával)
ααkrit32,0(2)
adódik.
A második feltétel teljesüléséhez a test energiaviszonyait kell megvizsgálnunk. Tételezzük fel, hogy a kis test a valamekkora út megtétele után megáll. Ha ez kh magasságban, azaz (1-k)hctgα vízszintes elmozdulás után következik be, akkor a rugó hossza ebben a helyzetben hk2+(1-k)2ctg2α lesz, s így az energiamegmaradás tétele szerint fennáll
12D(hk2+(1-k)2ctg2α-h)2=mg(1-k)h.
Innen (1) felhasználásával a
(k2+(1-k)2ctg2α-1)2=(1-k)(ctgα-1)2(3)
összefüggést kapjuk. Ennek az egyenletnek (tetszőleges α mellett) k=0 és k=1 megoldása, ezek az indulás helyének és a lejtő aljának felelnek meg. Amennyiben (3) egyenletnek van más megoldása is a 0<k<1 intervallumon, úgy a kis test nem érkezhet le a lejtő aljához, sebessége már hamarabb nullává válik.
 
Megjegyzés. Ez biztosan bekövetkezik, ha α>45. Ilyenkor ugyanis a kis testnek át kellene haladnia egy olyan helyzeten, amelynél a rugó éppen olyan hosszú, mint a legalsó, vízszintes állapotában. Ez nem lehetséges, mert a kérdéses helyzetben a rugóenergia ugyanakkora, a test helyzeti energiája pedig nagyobb, mint vízszintes rugóállásnál; a kis test mozgási energiája tehát kisebb kellene legyen, mint a lejtő aljánál érvényes nulla érték.
 

A (3) egyenlet grafikus ‐ vagy akár algebrai ‐ vizsgálata azt mutatja, hogy α<45 esetén nincs megoldása 0<k<1-ra, így a (2) feltétel által már élesebben korlátozott tartományban nem fordulhat elő, hogy a kis test a lejtőn valahol megáll.
A lejtő alján a rugóerő Dh(ctgα-1), ennek lejtő irányú, felfelé húzó komponense Dh(ctgα-1)cosα. A kis testre ható nehézségi erő mgsinα összetevője lefelé húzza a testet, az eredőből számolt gyorsulás tehát
a=Dhm(ctgα-1)cosα-gsinα,
ami (1) felhasználásával így is írható:
a=[2cosαctgα-1-sinα]g.