|
Feladat: |
A.380 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bogár Péter , Dücső Márton , Erdélyi Márton , Gyenizse Gergő , Hujter Bálint , Jankó Zsuzsanna , Kisfaludi-Bak Sándor , Kónya Gábor , Nagy 224 Csaba , Paulin Roland , Tomon István |
Füzet: |
2006/január,
27 - 28. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Háromszög területe, Ponthalmazok távolsága, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/október: A.380 |
|
A konvex -szög egy egységnégyzet belsejében fekszik. Mutassuk meg, hogy kiválasztható három csúcsa úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe kisebb, mint egység.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Megmutatjuk, hogy -nak kiválasztható három egymás utáni csúcsa is, amelyek elegendően kicsiny háromszöget határoznak meg. Felhasználjuk azt a jól ismert tételt, hogy ha egy konvex sokszög a (nem feltétlenül konvex) sokszög belsejében fekszik, akkor kerülete kisebb, mint kerülete. Ezt a tételt -ra és az őt tartalmazó egységnégyzetre alkalmazva kapjuk, hogy kerülete kisebb, mint egység. Legyenek csúcsai az , , , pontok. Az indexelést alkalmazzuk ciklikusan, például és . Tetszőleges -re az szög kiegészítő szöge legyen az ábra szerint. Mint ismeretes, a szögek összege radiánban kifejezve .
Az háromszög területét fejezzük ki a sokszög oldalaival és a szöggel, és becsüljük felülről a következőképpen: | |
A háromszögek területeinek mértani közepét véve, majd a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget alkalmazva az oldalakra és a szögekre is,
A legkisebb háromszög területe tehát biztosan kisebb, mint egység.
|
|