Feladat: A.380 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Péter ,  Dücső Márton ,  Erdélyi Márton ,  Gyenizse Gergő ,  Hujter Bálint ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kónya Gábor ,  Nagy 224 Csaba ,  Paulin Roland ,  Tomon István 
Füzet: 2006/január, 27 - 28. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög területe, Ponthalmazok távolsága, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/október: A.380

A K konvex n-szög egy egységnégyzet belsejében fekszik. Mutassuk meg, hogy kiválasztható három csúcsa úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe kisebb, mint 80n3 egység.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy K-nak kiválasztható három egymás utáni csúcsa is, amelyek elegendően kicsiny háromszöget határoznak meg.
Felhasználjuk azt a jól ismert tételt, hogy ha egy K1 konvex sokszög a K2 (nem feltétlenül konvex) sokszög belsejében fekszik, akkor K1 kerülete kisebb, mint K2 kerülete. Ezt a tételt K-ra és az őt tartalmazó egységnégyzetre alkalmazva kapjuk, hogy K kerülete kisebb, mint 4 egység.
Legyenek K csúcsai az A1, A2, ..., An pontok. Az indexelést alkalmazzuk ciklikusan, például A0=An és An+1=A1. Tetszőleges i-re az Ai-1AiAi+1 szög kiegészítő szöge legyen φi az ábra szerint. Mint ismeretes, a φi szögek összege radiánban kifejezve 2π.

 
 

Az Ai-1AiAi+1 háromszög területét fejezzük ki a sokszög oldalaival és a φi szöggel, és becsüljük felülről a következőképpen:
t(Ai-1AiAi+1)=12Ai-1AiAiAi+1sinφi<12Ai-1AiAiAi+1φi.

A háromszögek területeinek mértani közepét véve, majd a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget alkalmazva az oldalakra és a szögekre is,
min1int(Ai-1AiAi+1)i=1nt(Ai-1AiAi+1)n<i=1n12Ai-1AiAiAi+1φin==12(i=1nAiAi+1n)2i=1nφin12(i=1nAiAi+1n)2i=1nφin<<12(4n)22πn=16πn3<80n3.
A legkisebb háromszög területe tehát biztosan kisebb, mint 80n3 egység.