|
Feladat: |
A.378 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Erdélyi Márton , Gyenizse Gergő , Hujter Bálint , Jankó Zsuzsanna , Kisfaludi-Bak Sándor , Kónya Gábor , Molnár András , Nagy Csaba , Paulin Roland , Sümegi Károly , Szabó Tamás , Ureczky Bálint |
Füzet: |
2006/január,
26 - 27. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Törtfüggvények, Euklideszi algoritmus, Konstruktív megoldási módszer, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/szeptember: A.378 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Létezik ilyen függvény. Tetszőleges racionális szám egyértelműen írható véges lánctört alakban: ahol egész szám, az számok pedig pozitív egészek és . A lánctörtjegyeket egyszerű mohó algoritmussal kapjuk. Az csak az egész része lehet. Ha nem egész, akkor az számot kell tovább bontanunk. Az algoritmus során a felbontandó szám számlálója és nevezője az Euklideszi algoritmusnak megfelelően csökken, ezért az eljárás biztosan véget ér. Legyen tetszőleges racionális -re az lánctört alakjában a törtvonalak száma (azaz a fenti index). A lánctörtképzés szabályai szerint , ha egész, és ha . Definiáljuk az függvényt a következőképpen. | |
Az függvény definíciójából következik, hogy ha pozitív racionális szám és pozitív egész, akkor és . Igazolni kell, hogy , ha . Mivel és , ezt elég pozitív -ekre belátni. Mivel és szerepe is felcserélhető, feltehető, hogy . Ekkor viszont , azaz . Az függvény definíciójából látható, hogy ha , akkor , kivéve az esetet. Ezért már csak azt kell belátni, hogy , ha . A szimmetria miatt feltehető, hogy . Ha , akkor , a feltétel teljesül. Ha , akkor és , szintén készen vagyunk. Marad az az eset, amikor . Ekkor pedig
Az függvény tehát mindegyik feltételnek eleget tesz.
Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy ha értéke adott, az a feltételek mellett az összes többi értéket meghatározza, (indukcióval a lánctört-alakban levő törtvonalak hossza szerint) ezért csak a most definiált függvény és -szerese teljesíti a feltételeket. |
|