Feladat: B.3826 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Csató László ,  Cseh Ágnes ,  Eisenberger András ,  Gombkötő Tamás ,  Harkai Alexandra Dóra ,  Hartmann Zoltán ,  Jusztin Áron ,  Kiss-Tóth Christian ,  Knipl Diána ,  Kómár Péter ,  Kovács Péter ,  Nagy Csaba ,  Nagy Péter ,  Nagy-Baló András ,  Peregi Tamás ,  Pesti Veronika ,  Petrás András ,  Poronyi Balázs ,  Strenner Balázs ,  Szabó Tamás 
Füzet: 2005/december, 542 - 543. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Csonkagúlák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/május: B.3826

Milyen négyszög az alaplapja annak a csonkagúlának, amelynek bármelyik két testátlója metszi egymást?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha valamely ABCD síknégyszög csúcsait összekötjük a síkján kívüli M ponttal, majd az így kapott gúlát az ABCD lappal párhuzamos síkkal elmetsszük és az M pontot tartalmazó lemetszett gúlarészt elhagyjuk, akkor csonkagúlát kapunk. Legyen a csonkagúla fedőlapja az EFGH négyszög (lásd az ábrát). A származtatásból következik, hogy az EFGH négyszöget egy M középpontú, megfelelő arányú (MAME) középpontos hasonlóság az ABCD négyszögbe viszi. Ezért az alap-, illetve a fedőlap síkjai, valamint a lapokon lévő egymásnak megfelelő élek párhuzamosak. A csonkagúlának négy testátlója van, AG, BH, CE és DF. Feladatunk szerint ezek közül bármelyik kettő metszi egymást. Ha AG metszi BH-t, akkor az A, B, G, H pontok egy síkban vannak. Ezért az AB és a GH egyenesek is egysíkúak, tehát vagy metszik egymást, vagy párhuzamosak. Ha metszenék egymást, akkor metszéspontjuk a csonkagúla alap- és fedőlapjának közös pontja lenne, ami a két lap párhuzamossága miatt nem lehetséges. Tehát AB és GH párhuzamosak. Viszont GH párhuzamos CD-vel is, tehát AB és CD is párhuzamosak. Hasonló gondolatmenettel BH és CE metszéspontjának létezéséből következik, hogy BC és DA is párhuzamosak. Az ABCD négyszög tehát paralelogramma, mert szemközti oldalai párhuzamosak.

 
 

Megmutatjuk, hogy ha az alaplap paralelogramma, akkor a csonkagúla bármely két testátlója metszi egymást. Ehhez elegendő belátnunk, hogy bármely két testátlóhoz létezik olyan sík, amelyik tartalmazza azokat. Ha két olyan testátlót tekintünk, melyeknek az alaplapon lévő csúcsai szomszédosak, akkor az őket összekötő él a paralelogramma tulajdonságai miatt párhuzamos a fedőlapon lévő átlóvégpontokat összekötő éllel, vagyis a két átló egy síkban van. Ha pedig olyan testátlókat vizsgálunk, melyeknek az alaplapon lévő csúcsai átellenesek, akkor ezek a testátlók minden csonkagúlában metszik egymást, mert benne vannak az AG és a CE, illetve a BH és a DF egyenesek által rendre meghatározott ACM és BDM síkban.
Tehát a paralelogramma alapú csonkagúlák azok, amelyeknek bármely két testátlója metszi egymást.
 
Megjegyzés. Könnyen igazolható, hogy ebben az esetben a testátlók ugyanabban a pontban metszik egymást.