Kezdőlap


Feladat:	C.805	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2005/december, 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: C.805

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $a$ , $b$ , $c$ számhármasra a feltételek szerint felírhatjuk a következő egyenleteket: $a b c = 4 (a + b + c)$ , és például $c = 2 (a + b)$ . Ez utóbbit helyettesítve:

\begin{matrix} a b \cdot 2 (a + b) = 4 (a + b + 2 (a + b)) . \end{matrix}

Rendezve és

(a + b)

-t kiemelve:

\begin{matrix} 2 a b (a + b) = 12 (a + b) . \end{matrix}

a + b \neq 0

, akkor az

a b = 6

egyenlethez jutunk. Ha

a = \pm 1

, akkor

b = \pm 6

és

c = \pm 14

(

a

b

és

c

előjele természetesen azonos). Ekkor

\begin{matrix} a b c = \pm 84 és a + b + c = \pm 21, \end{matrix}

azaz teljesülnek a feladat követelményei. Ha

a = \pm 2

, akkor

b = \pm 3

és

c = \pm 10

. Most

\begin{matrix} a b c = \pm 60 és a + b + c = \pm 15, \end{matrix}

s ez ugyancsak eleget tesz a feladat kívánalmainak. Ha

a = \pm 3

vagy

\pm 6

, akkor a fenti megoldásokat kapjuk, csak

a

és

b

szerepe fölcserélődik.
Végül, ha

a + b = 0

, azaz

b = - a

, akkor

c = 0

, és ezek az

(a, - a,0)

számhármasok ‐ minden

a

egészre ‐ ugyancsak megoldásai a feladatnak.