Feladat: C.805 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2005/december, 527. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: C.805

Adjuk meg azokat az egész számokból álló számhármasokat, amelyek szorzata négyszer akkora, mint az összegük, és egyikük kétszer akkora, mint a másik kettő összege.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az a, b, c számhármasra a feltételek szerint felírhatjuk a következő egyenleteket: abc=4(a+b+c), és például c=2(a+b). Ez utóbbit helyettesítve:

ab2(a+b)=4(a+b+2(a+b)).
Rendezve és (a+b)-t kiemelve:
2ab(a+b)=12(a+b).
Ha a+b0, akkor az ab=6 egyenlethez jutunk. Ha a=±1, akkor b=±6 és c=±14 (a, b és c előjele természetesen azonos). Ekkor
abc=±84ésa+b+c=±21,
azaz teljesülnek a feladat követelményei. Ha a=±2, akkor b=±3 és c=±10. Most
abc=±60ésa+b+c=±15,
s ez ugyancsak eleget tesz a feladat kívánalmainak. Ha a=±3 vagy ±6, akkor a fenti megoldásokat kapjuk, csak a és b szerepe fölcserélődik.
Végül, ha a+b=0, azaz b=-a, akkor c=0, és ezek az (a,-a,0) számhármasok ‐ minden a egészre ‐ ugyancsak megoldásai a feladatnak.