Feladat: C.782 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2005/december, 521. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Síkgeometriai számítások trigonometriával, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/november: C.782

A parttal párhuzamosan, attól 200 méterre halad egy vitorlás a Balatonon. Valaki folyamatosan egy irányban úszva szeretné elérni a közeledő hajót. A parthoz képest milyen szögben kell elindulnia, ha a vitorlás sebessége 15km/h, az úszó sebessége 2km/h, és induláskor a parton mérve 2km távolságban van a hajótól?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A hajó megközelítése kétféle módon történhet aszerint, hogy a mozgás part irányú összetevője azonos, vagy ellentétes irányú a hajó mozgásával.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Ábrázoljuk a két esetet: jelöljük α-val a keresett szöget, a találkozásig eltelt időt pedig x-szel (órában). A találkozásig a hajó 15x, az úszó 2x km utat tett meg. A találkozási pontot jelöljük A-val, az úszó a B pontból indul és az induláskor az úszó a hajótól 2 km távolságra van. Mindkét esetben az ABC derékszögű háromszögre felírhatjuk Pitagorasz tételét:
0,22+(15x-2)2=4x2vagy0,22+(2-15x)2=4x2.
Mindkét esetben a következő másodfokú egyenlethez jutunk:
221x2-60x+4,04=0,
amelynek két gyöke x10,1479, illetve x20,1236. Az x1 esetén sinα1=0,6761 és α1=42,54; az x2 esetén sinα2=0,8091 és α2=54,01. Ha x1=0,1479, akkor 15x1=2,2185, azaz az úszó 42,54 fokos szögben a hajóval ,,egy irányban'', a másik esetben 15x2=1,854 miatt 54,01-os szögben a hajóval ,,szemben'' úszik.