Kezdőlap


Feladat:	B.3798	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hujter Bálint , Komáromy Dani , Ureczky Bálint
Füzet:	2005/november, 477 - 478. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: B.3798

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $(2 + \sqrt[]{3}) (2 - \sqrt[]{3}) = 1$ , $α^{- 1} = 2 - \sqrt[]{3}$ . Nyilván $0 < α^{- 1} < 1$ . A binomiális tétel szerint ‐ minden pozitív egész $n$ -re ‐

\begin{matrix} {(2 + \sqrt[]{3})}^{n} = & (\binom{n}{0}) 2^{n} + (\binom{n}{1}) 2^{n - 1} \sqrt[]{3} + ... + (\binom{n}{k}) 2^{n - k} {\sqrt[]{3}}^{k} + ... + (\binom{n}{n}) {\sqrt[]{3}}^{n}, \\ {(2 - \sqrt[]{3})}^{n} = & (\binom{n}{0}) 2^{n} - (\binom{n}{1}) 2^{n - 1} \sqrt[]{3} + ... + {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) 2^{n - k} {\sqrt[]{3}}^{k} + ... + \\ + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) {\sqrt[]{3}}^{n}, így \end{matrix}

\begin{matrix} {(2 + \sqrt[]{3})}^{n} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{n} = 2 ((\binom{n}{0}) 2^{n} + (\binom{n}{2}) 2^{n - 2} \cdot 3 + ... + (\binom{n}{2 ℓ}) 2^{n - 2 ℓ} 3^{ℓ} + ...) = c_{n} \end{matrix}

egész szám. Láttuk, hogy

0 < α^{- 1} < 1

, ezért minden pozitív egész

n

-re is

0 < α^{- n} < 1

. Így

α^{n} = c_{n} - 1 + (1 - α^{- n})

, és itt

0 < (1 - α^{- n}) < 1

miatt valóban

[α^{n}] = c_{n} - 1 = α^{n} + α^{- n} - 1

Megjegyzés. Az

n

-re vonatkozó indukcióval is belátható a binomiális tételre történő hivatkozás nélkül, hogy ha

α + α^{- 1}

egész szám, akkor minden egész

n

-re

α^{n} + α^{- n}

is egész. (Az indukció alkalmazását például az

\begin{matrix} α^{n + 1} + α^{- (n + 1)} = (α^{n} + α^{- n}) (α + α^{- 1}) - (α^{n - 1} + α^{- (n - 1)}) \end{matrix}

azonosság teszi lehetővé.)