Feladat: B.3798 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hujter Bálint ,  Komáromy Dani ,  Ureczky Bálint 
Füzet: 2005/november, 477 - 478. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: B.3798

Legyen α=2+3. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re
[αn]=αn+α-n-1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel (2+3)(2-3)=1, α-1=2-3. Nyilván 0<α-1<1. A binomiális tétel szerint ‐ minden pozitív egész n-re ‐

(2+3)n=(n0)2n+(n1)2n-13+...+(nk)2n-k3k+...+(nn)3n,(2-3)n=(n0)2n-(n1)2n-13+...+(-1)k(nk)2n-k3k+...++(-1)n(nn)3n,így
(2+3)n+(2-3)n=2((n0)2n+(n2)2n-23+...+(n2)2n-23+...)=cn
egész szám. Láttuk, hogy 0<α-1<1, ezért minden pozitív egész n-re is 0<α-n<1. Így αn=cn-1+(1-α-n), és itt 0<(1-α-n)<1 miatt valóban [αn]=cn-1=αn+α-n-1.
 
Megjegyzés. Az n-re vonatkozó indukcióval is belátható a binomiális tételre történő hivatkozás nélkül, hogy ha α+α-1 egész szám, akkor minden egész n-re αn+α-n is egész. (Az indukció alkalmazását például az
αn+1+α-(n+1)=(αn+α-n)(α+α-1)-(αn-1+α-(n-1))
azonosság teszi lehetővé.)