Feladat: B.3700 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balázs Katalin 
Füzet: 2005/szeptember, 344 - 345. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: B.3700

Bizonyítsuk be, hogy az x1,x2,...,xn pozitív számokra
x13x12+x1x2+x22+x23x22+x2x3+x32+...+xn3xn2+xnx1+x1213(x1+x2+...+xn).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel

i=1nxi3-xi+13xi2+xixi+1+xi+12=i=1n(xi-xi+1)(xi2+xixi+1+xi+12)xi2+xixi+1+xi+12==i=1n(xi-xi+1)=0,
azért a bal oldal értéke nem változik, ha az egyes tagok számlálójában a változó indexét ciklikusan 1-gyel növeljük (xn+1=x1). Ennek megfelelően a bizonyítandó állítás 2-vel való szorzás után a következő alakba írható:
i=1nxi3+xi+13xi2+xixi+1+xi+1223i=1nxi=13i=1n(xi+xi+1).

Megmutatjuk, hogy ez az egyenlőtlenség tagonként teljesül: ha u és v pozitív mennyiségek, akkor u3+v3u2+uv+v2u+v3. Ebből a bizonyítandó állítás nyilván következik.
Mivel u3+v3=(u+v)(u2-uv+v2), azért a feltétel szerint pozitív (u+v)-vel egyszerűsítve u2-uv+v2u2+uv+v213 adódik, ahonnan rendezés után ‐ a nevezők pozitívak ‐ a nyilvánvalóan igaz 2u2-4uv+2v2=2(u-v)20 egyenlőtlenséget kapjuk.
Látható, hogy pontosan akkor van egyenlőség, ha u=v, azaz xi=xi+1, i=1,2,...,n, tehát valamennyi xi értéke egyenlő.