Feladat: 3809. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyenis András ,  Gyenis András ,  Hagymási Imre ,  Meszéna Balázs ,  Nagy Zoltán ,  Pálinkás Csaba ,  Széchenyi Gábor 
Füzet: 2005/december, 566 - 568. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erőhatások mágneses mezőben, Szolenoid mágneses tere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/május: 3809. fizika feladat

Két hosszú, egyforma szolenoid szorosan egymás mellett úgy helyezkedik el, hogy a tengelyük közös. A tekercsek keresztmetszete A, egységnyi hosszukra n menet jut. Mekkora erő hat közöttük, ha
a) mindkettőbe I,
b) az egyik tekercsbe I1, a másikba I2

erősségű áramot vezetünk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Számítsuk ki, hogy mekkora az egyik, I1 erősségű árammal átjárt tekercs mágneses indukcióvektorának tengely irányú komponense a tekercs végénél! A tekercs belsejében (a végeitől messze) az indukcióvektor párhuzamos a tengellyel, és a nagysága B=μ0I1n. Képzeletben tegyünk egy másik, ugyanolyan tulajdonságú tekercset az eredeti tekercsünk mellé úgy, hogy a végeik éppen érintkezzenek. Az eredő indukcióvektor nagysága most B lesz, és mivel (a szimmetria miatt) mindkét tekercs ugyanolyan mértékben járul hozzá a tengellyel párhuzamos indukcióvektorhoz, egyetlen tekercs végénél az indukcióvektor tengellyel párhuzamos komponense B/2 kell legyen.
Vizsgáljuk most a feladatban szereplő két tekercset, méghozzá rögtön az általánosabb b) kérdésben szereplő áramokkal! (Az a) kérdés nyilván speciális esete b)-nek.) Az egyik tekercs mágneses teréből származó

Φ=μ0I1n2A(1)
nagyságú mágneses fluxus behatol a másik tekercsbe, majd annak palástján keresztül ki is lép belőle. (Ha a tekercsek elegendően hosszúak, akkor az egyik tekercs mágneses teréből származó fluxusnak az a része, amely a másik tekercs ,,túlsó'' végén lép ki, elhanyagolhatóan kicsi.)
Vizsgáljuk most az egyik tekercs mágneses indukcióvektorának a másik tekercsben folyó áramokra kifejtett erőhatását! A tengellyel párhuzamos indukció-komponens nem fejt ki eredő erőt a körnek tekinthető menetekben folyó áramokra (hiszen ilyenkor sugár irányú az erő), elegendő tehát csak a tengelyre merőleges komponensekkel foglalkoznunk. Jelöljük a tekercs végétől számított i-edik menet helyén fellépő indukcióvektor tengelyre merőleges komponensét Bi-vel! Ekkor az egyes, 2Aπ hosszúságú menetekre kifejtett erő nagysága Fi=2AπBiI2, a tekercs egészére ható erő pedig
F=iFi=2AπI2iBi.(2)

Másrészt tudjuk, hogy az egyik tekercs teréből származó mágneses fluxusnak a másik tekercsen áthaladó része
Φ=i(2Aπ1nBi)=μ0I1n2A.(3)
(Kihasználtuk, hogy egységnyi hosszra n menet jut, az egyes menetek távolsága tehát 1/n, továbbá hogy a sűrűn tekercselt tekercs egy-egy menete mentén a mágneses indukció tengelyre merőleges komponense állandónak vehető.)
A (3) összefüggésből kifejezhetjük Bi-t és azt (2)-be helyettesíthetjük, így a kérdéses erőre végül
F=μ0I1I2n2A2
adódik, amely az a) kérdésben szereplő esetben F=μ02I2n2A alakra egyszerűsödik.
 
II. megoldás. Tekintsük először az a) kérdésnek megfelelő I1=I2=I esetet. Tegyük fel, hogy mindkét tekercs szupravezető (nulla elektromos ellenállású) vezetékekből készült, s mindkettőt rövidre zártuk. (A tekercsek közötti erőhatás csak az áramerősségek és az ezekkel arányos mágneses térerősségek nagyságától függ, a vezetékek ellenállásától nem; a feladat szempontjából tehát lényegtelen, hogy miként tartjuk fenn a megadott áramokat, külső áramforrásokkal, vagy éppen forrás nélküli szupravezetőkkel.)
Ha mindkét tekercsben ugyanakkora az áram erőssége, tekinthetjük a rendszert egyetlen hosszúságú tekercsnek, melynek N=n menete van. Ezen tekercsben a mágneses fluxus Φ=LI, ahol
L=μ0N2A(1)
a tekercs önindukciós együtthatója.
A tekercs mágneses energiája
W=12LI2=Φ22L.(2)
Távolítsuk el gondolatban a tekercs két részét egymástól valamekkora Δx távolsággal! Ezt, ha Δx olyan kicsiny, hogy az elmozdítás közben a féltekercsek között ható F erő állandónak tekinthető, ΔW=FΔx munkavégzéssel tehetjük meg. A végzett munka a rendszer mágneses energiáját növeli, tehát éppen a (2) képlettel megadott W megváltozásával egyenlő. Célszerű a második, a fluxussal kifejezett alakot használnunk, hiszen a tekercsek széthúzásakor L is és I is megváltozik, a Φ fluxus viszont változatlan kell maradjon (ellenkező esetben végtelen nagy áram indukálódna a nulla ellenállású vezetőben). Így tehát
ΔW=Φ22Δ1L=Φ221μ0N2AΔx.
A ΔW-re kapott kétféle kifejezés összehasonlításából az erőre
F=Φ221μ0N2A=μ0I2n2A2
adódik.
b) Ha mindkét tekercsben I1 erősségű áram folyik, a tekercsek között
F=μ0I12n2A2
erő hat. Amennyiben az egyik tekercs áramerősségét I2/I1 arányban megnöveljük, az erőhatásnak is ugyanilyen arányban kell megváltoznia (hiszen egy adott erősségű mágneses térben levő vezetőre ható erő arányos a vezetőben folyó áram erősségével), tehát
F=μ0I1I2n2A2
lesz.