Kezdőlap


Feladat:	2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tasnádi Tamás , Vankó Péter
Füzet:	2005/november, 490 - 491. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bolygómozgás, Kepler törvények, Mesterséges holdak, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.
1. $a)$ és $b)$ A Föld felszínén lévő testre ható nehézségi erő (a Föld forgását elhanyagolva): $m g = G \frac{M m}{R_{F}^{2}}$ , amiből $G M = g R_{F}^{2}$ . Newton II. törvénye a körpályán mozgó testre felírva: $G \frac{M m}{r_{0}^{2}} = m \frac{v_{0}^{2}}{r_{0}}$ , ahol $v_{0} = \frac{2 π r_{0}}{T_{0}}$ . Rendezve az egyenleteket, megkapjuk a geostacinárius műhold adatait:

\begin{matrix} r_{0} = {(\frac{g R_{F}^{2} T_{0}^{2}}{4 π^{2}})}^{1 / 3} = 4, 22 \cdot 10^{7} m és v_{0} = R_{F} \sqrt[]{\frac{g}{r_{0}}} = 3, 07 \cdot 10^{3} m/s . \end{matrix}

c)

A perdület definíciója alapján

L_{0} = m v_{0} r_{0} = \frac{m g R_{F}^{2}}{v_{0}}

. A teljes mechanikai energia a mozgási energia és a (negatív) helyzeti energia összege:

\begin{matrix} E_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - G \frac{M m}{r_{0}^{2}} = - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} . \end{matrix}

2.1. Felhasználva, hogy a perdület a Föld középpontja felé mutató lökés hatására nem változik meg, a megadott képletbe behelyettesítve:

\begin{matrix} l = \frac{L_{0}^{2}}{G M m^{2}} = \frac{m^{2} g^{2} R_{F}^{4}}{v_{0}^{2}} \frac{1}{g R_{F}^{2} m^{2}} = \frac{g R_{F}^{2}}{v_{0}^{2}} = r_{0} . \end{matrix}

A mechanikai energia új értéke

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} m (v_{0}^{2} + Δ v^{2}) - G \frac{M m}{r_{0}^{2}} = \frac{1}{2} m Δ v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} (β^{2} - 1), \end{matrix}

ezt behelyettesítve

ε

képletébe és a képletet rendezve:

ε = {(1 + \frac{2 E L_{0}^{2}}{G^{2} M^{2} m^{3}})}^{1 / 2} = β

. Mivel

ε = β < 1

, a pálya ellipszis.
2.2. Az eredeti körpálya és az ellipszispálya a pályamódosítás pontjában metszi egymást. Ebből

r (θ = α) = r_{0} = \frac{r_{0}}{1 - ε cos α}

, amiből

α = 90^{\circ}

.
2.3.

\begin{matrix} r_{{max}_{}^{}} = \frac{l}{1 - ε} = \frac{r_{0}}{1 - β} = 5, 63 \cdot 10^{7} m és r_{{min}_{}^{}} = \frac{l}{1 + ε} = \frac{r_{0}}{1 + β} = 3, 38 \cdot 10^{7} m . \end{matrix}

2.4. Az ellipszispálya fél nagytengelye

a = \frac{r_{{min}_{}^{}} + r_{{max}_{}^{}}}{2} = \frac{r_{0}}{1 - β^{2}}

. Kepler III. törvénye szerint

\frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{T_{0}^{2}}{r_{0}^{3}}

, amiből

T = T_{0} {(1 - β^{2})}^{- 3 / 2} = T_{0} {(\frac{15}{16})}^{- 3 / 2} = 26, 4

3.1. Parabolapályánál

ε = 1

, ebből

β_{esc} = 1

.
3.2.

r'_{{min}_{}^{}} = \frac{r_{0}}{1 + β} = \frac{r_{0}}{2}

4.1. Az energiamegmaradásból

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} (β^{2} - 1) = \frac{1}{2} m v_{\infty}^{2}, \end{matrix}

amiből

v_{\infty} = v_{0} \sqrt[]{β^{2} - 1}

.
4.2. A perdületmegmaradásból

m v_{0} r_{0} = m v_{\infty} b

, amiből

b = r_{0} {(β^{2} - 1)}^{- 1 / 2}

.
4.3.

r (θ_{\infty}) = \infty

, ha

1 - ε cos θ_{\infty} = 0

, amiből

θ_{\infty} = arccos (\frac{1}{β})

és

φ = 90^{\circ} + arccos (\frac{1}{β}) = 90^{\circ} + arccos (\frac{2}{3}) = 138^{\circ}