Feladat: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2005/október, 425 - 427. oldal  PDF file
Témakör(ök): Bolygómozgás, Kepler törvények, Mesterséges holdak, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2005/november: 2005. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szerencsétlenül járt műhold

 

A mesterséges égitestek manőverezés során leggyakrabban repülésük irányában változtatják meg sebességüket, azaz felgyorsítanak, hogy magasabb pályákra kerüljenek, vagy lefékeznek, hogy visszatérjenek a légkörbe. Ezzel szemben ebben a feladatban most kizárólag olyan pályamódosításokat vizsgálunk, melyeknek során a mesterséges égitest sugár irányú lökéssel módosítja sebességét.
 
 

A numerikus eredmények meghatározásához használd a következő értékeket: a Föld sugara RT=6,37106 m, a nehézségi gyorsulás a Föld felszínén g=9,81m/s2, és a sziderikus nap hosszát tekintsd T0=24,0 h-nak.
Tekintsünk egy m tömegű távközlési műholdat, mely r0 sugarú geostacionárius1 pályán kering pontosan az Egyenlítő egy pontja fölött. A műhold manőverező hajtóművének megfelelő lökéseivel állt a pontos pályára.
Az egyes részkérdésekre kapható pontszám a feladat sorszáma után zárójelben található.
1. Kérdés. (a) Számold ki r0 számszerű értékét!
(b) Add meg a műhold v0 sebességét, mint a g, RT és r0 paraméterek függvényét, valamint határozd meg a sebesség számszerű értékét!
(c) Határozd meg a műhold L0 perdületét (impulzusmomentumát), valamint E0 teljes mechanikai energiáját, mint a v0, m, g és RT paraméterek függvényét!
Amint a műhold elérte a geostacionárius pályát (lásd az F-1. ábrát), stabilizálta helyzetét, és munkára kész állapotba került, a földi irányítóközpont hibájának következtében a menőverező hajtómű rövid időre újra bekapcsolódott. A hajtómű a műholdat a Föld irányába lökte meg, és annak ellenére, hogy a földi irányítóközpont szinte azonnal reagált, és kikapcsolta a hajtóművet, a műhold sebessége egy nem kívánt Δv értékkel módosult. A lökést a β=Δv/v0 lökési paraméterrel jellemezzük. A manőver időtartama jóval rövidebb, mint a műhold keringésének bármilyen más jellemző ideje, tehát a lökés pillanatszerűnek tekinthető.
 

 
F-1. ábra
 

2. Kérdés. Tegyük föl, hogy β<1.
2.1. Határozd meg az új pályát jellemző mennyiségeket2, azaz a pálya poláris egyenletében szereplő l paramétert (semi-latus-rectum = ,,fél-merőleges-távolság'') és az ε excentricitást az r0 és β paraméterek függvényében!
2.2. Határozd meg az új pálya főtengelye és a véletlen pályamódosítás helyvektora közti α szöget! (A helyvektor kezdőpontja a Föld középpontja.)
2.3. Határozd meg a pálya földközeli, illetve földtávoli pontjának rmin, illetve rmax távolságát a Föld középpontjától, mint az r0 és β paraméterek függvényét, valamint add meg a kifejezések számszerű értékét β=1/4 esetén!
2.4. Határozd meg a módosult pálya T keringési idejét, mint a T0 és β paraméterek függvényét, és add meg a keringési idő számszerű értékét β=1/4 esetén!
3. Kérdés.
3.1. Határozd meg azt a legkisebb βesc lökési paramétert, amely mellett a műhold elhagyja a Föld gravitációs terét!
3.2. Ebben az esetben határozd meg a műhold pályájának a Földet legjobban megközelítő pontjának r'min távolságát a Föld középpontjától, mint az r0 paraméter függvényét!
4. Kérdés. Tegyük föl, hogy β>βesc.
4.1. Határozd meg a v0 és β paraméterek függvényeként, hogy mekkora v sebessége marad a műholdnak, ha végtelen messzire eltávolodik a Földtől!
4.2. Határozd meg a végtelen távoli mozgást jellemző b ,,impakt paramétert'', mint az r0 és β paraméter függvényét! (Lásd: F-2. ábra.)
 

 
F-2. ábra
 

4.3. Határozd meg a végtelen távoli mozgás irányának ϕ szögét, mint a β paraméter függvényét! (Lásd: F-2. ábra.) Add meg a szög számszerű értékét a β=32βesc esetre!
Segítség. A távolság négyzetének reciprokával csökkenő, centrális erőtérben mozgó testek ellipszis, parabola vagy hiperbola pályán mozognak. Az mM közelítés mellett a centrális gravitációs teret létrehozó M tömeg a pálya egyik fókuszában van. A koordináta-rendszer kezdőpontját ebben a pontban felvéve, a fenti pályák általános, polárkoordinátás egyenlete (lásd: F-3. ábra)
r(θ)=l1-εcosθ
alakú, ahol az l pozitív állandó a görbe paramétere (semi-latus-rectum = fél-merőleges-távolság), ε pedig a pálya excentriciása. A mozgást jellemző megmaradó mennyiségekkel kifejezve:
l=L2GMm2ésε=(1+2EL2G2M2m3)1/2,
ahol G a gravitációs állandó, L a keringő test perdületének (impulzusmomentumának) nagysága a középpontra vonatkoztatva, E pedig a mechanikai energiája. (A potenciális energia zéruspontja a végtelenben van.)
 

 
F-3. ábra
 

A következő három esetet különböztethetjük meg:
i) Ha 0ε<1, a görbe ellipszis (ε=0 esetén kör).
ii) Ha ε=1, a görbe parabola.
iii) Ha ε>1, a görbe hiperbola.
1A pályához tartozó keringési idő T0.

2Nézd át a feladat végén található ,,segítséget''!