Feladat:	3754. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	G. P. ,  Pósa László ,  Újfalussy Kristóf
Füzet:	2005/május, 307 - 308. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Folyadékok hőtágulása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: 3754. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Közismert, hogy a víz sűrűsége $4{}^{\circ }$C-nál a legnagyobb, egy adott tömegű víz térfogata tehát ennél a hőmérsékletnél a legkisebb. A térfogat-hőmérséklet kapcsolat $T=4$ közelében (a továbbiakban a hőmérséklet mértékegységét nem írjuk ki) egy minimumhellyel rendelkező sima (folytonos és törésmentes) függvénnyel írható le, ami vélhetően jól közelíthető egy parabolával: $\begin{array}{c}{\displaystyle V\left(T\right)=a{\left(T-4\right)}^2+b\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $a$ és $b$ állandók. Leolvashatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle V\left(0\right)=16a+b\mathrm{,}V\left(3\right)=a+b\mathrm{,}\text{és}V\left(6\right)=4a+b\mathrm{,}}\end{array}$ a térfogatváltozás tehát 3 és 6 fok között $3a$, ez ötször kisebb, mint a 3 és 0 fok közötti változás, ami $15a$.   II. megoldás. A víz $\beta$ hőtágulási együtthatója (vagyis egységnyi, de kicsiny hőmérsékletváltozásra jutó relatív térfogatváltozás) $T=4$ fokon nulla, ennél magasabb hőmérsékleten pozitív (a hőmérséklet növelésekor a térfogat tágul), 4 fok alatt pedig a hőtágulási együttható negatív (a hőmérséklet csökkenésekor a víz térfogata növekszik). A hőtágulási együttható tehát egy olyan ‐ feltehetően sima ‐ függvénye a hőmérsékletnek, amely $T=4$ foknál előjelet vált. A kérdéses hőmérsékletek elég közel vannak a 4 fokhoz, ezért jogosan tehetjük fel, hogy $\beta \left(T\right)$ a hőmérséklettel arányosan, annak lineáris függvényeként változik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta \left(T\right)\approx b_0\cdot \left(T-4\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Változó ‐ méghozzá egyenletesen változó ‐ hőtágulási együttható esetén számolhatunk átlagos $\beta$-val, a vizsgált hőmérséklet-tartomány legnagyobb és legkisebb hőtágulási együtthatójának számtani közepével. Míg 3 és 6 fok között a hőtágulás átlagos értéke $0\mathrm{,}5b_0$, 0 és 3 fok között $-2\mathrm{,}5b_0$; a két érték aránya (abszolút értékben) $1:5$. A 3 fokról 0 fokra lehűlő víz tehát közel 5-ször többet fog tágulni, mint a 3 fokról 6 fokra melegedő víz. Ez a megoldás fizikai tartalmát tekintve lényegében megegyezik az I. megoldással, csupán a matematikai megfogalmazása különbözik az ott leírtakétól.   Megjegyzések. 1. Sokan a térfogatot a minimuma közelében $a|T-4|+b$ egyenlettel leírt ,,V-betű alakú'' függvénnyel közelítették, és így a kérdéses arányra $1:3$-t kaptak. Ez a közelítés annak felelne meg, hogy a hőtágulási együttható $T=4$ foknál hirtelen váltana előjelet, értéke ugrásszerűen változna meg. A klasszikus fizika jelenségeiben ilyen ugrásszerű változás csak nagyon ritkán (pl. fázisátalakulásoknál vagy hidrodinamikai lökéshullámoknál) fordul elő, jelen esetben a hőtágulási együttható ugrásszerű megváltozásának feltételezése nem indokolt, és ténylegesen hibás. 2. Az elméleti megfontolásokat érdemes összehasonlítani a mérési eredményekkel. ,,Részletes táblázati adatok'' szerint a víz sűrűsége (kg/m${}^3$ egységekben) 0 fokon 999,868; 3 fokon 999,992; és végül 6 fokon 999,968. Az adatok bizonytalansága az utolsó kiírt tizedesjegyben legfeljebb fél jegynyi lehet. Kiszámíthatjuk, hogy a sűrűségek változása 3 és 6 fok között $0\mathrm{,}024\pm 0\mathrm{,}001$; 3 és 0 fok között pedig $0\mathrm{,}124\pm 0\mathrm{,}001$. Ezen két szám aránya $5\mathrm{,}1\pm 0\mathrm{,}2$; ami jól összefér a ,,sima'' változást feltételező elmélet 5-ös értékével, de ellentmond a hőtágulási együttható ugrásszerű változásának megfelelő 3-nak.