Feladat: 3754. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  G. P. ,  Pósa László ,  Újfalussy Kristóf 
Füzet: 2005/május, 307 - 308. oldal  PDF file
Témakör(ök): Folyadékok hőtágulása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: 3754. fizika feladat

Mikor nő jobban a kezdetben 3C-os víz térfogata: ha lehűl 0C-ra, vagy ha felmelegszik 6C-ra? Adjunk becslést (részletes táblázati adatok felhasználása nélkül) a kétféle térfogatnövekedés arányára!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Közismert, hogy a víz sűrűsége 4C-nál a legnagyobb, egy adott tömegű víz térfogata tehát ennél a hőmérsékletnél a legkisebb. A térfogat-hőmérséklet kapcsolat T=4 közelében (a továbbiakban a hőmérséklet mértékegységét nem írjuk ki) egy minimumhellyel rendelkező sima (folytonos és törésmentes) függvénnyel írható le, ami vélhetően jól közelíthető egy parabolával:
V(T)=a(T-4)2+b,
ahol a és b állandók. Leolvashatjuk, hogy
V(0)=16a+b,V(3)=a+b,ésV(6)=4a+b,
a térfogatváltozás tehát 3 és 6 fok között 3a, ez ötször kisebb, mint a 3 és 0 fok közötti változás, ami 15a.
 
II. megoldás. A víz β hőtágulási együtthatója (vagyis egységnyi, de kicsiny hőmérsékletváltozásra jutó relatív térfogatváltozás) T=4 fokon nulla, ennél magasabb hőmérsékleten pozitív (a hőmérséklet növelésekor a térfogat tágul), 4 fok alatt pedig a hőtágulási együttható negatív (a hőmérséklet csökkenésekor a víz térfogata növekszik). A hőtágulási együttható tehát egy olyan ‐ feltehetően sima ‐ függvénye a hőmérsékletnek, amely T=4 foknál előjelet vált. A kérdéses hőmérsékletek elég közel vannak a 4 fokhoz, ezért jogosan tehetjük fel, hogy β(T) a hőmérséklettel arányosan, annak lineáris függvényeként változik:
β(T)b0(T-4).

Változó ‐ méghozzá egyenletesen változó ‐ hőtágulási együttható esetén számolhatunk átlagos β-val, a vizsgált hőmérséklet-tartomány legnagyobb és legkisebb hőtágulási együtthatójának számtani közepével. Míg 3 és 6 fok között a hőtágulás átlagos értéke 0,5b0, 0 és 3 fok között -2,5b0; a két érték aránya (abszolút értékben) 1:5. A 3 fokról 0 fokra lehűlő víz tehát közel 5-ször többet fog tágulni, mint a 3 fokról 6 fokra melegedő víz.
Ez a megoldás fizikai tartalmát tekintve lényegében megegyezik az I. megoldással, csupán a matematikai megfogalmazása különbözik az ott leírtakétól.
 
Megjegyzések. 1. Sokan a térfogatot a minimuma közelében a|T-4|+b egyenlettel leírt ,,V-betű alakú'' függvénnyel közelítették, és így a kérdéses arányra 1:3-t kaptak. Ez a közelítés annak felelne meg, hogy a hőtágulási együttható T=4 foknál hirtelen váltana előjelet, értéke ugrásszerűen változna meg. A klasszikus fizika jelenségeiben ilyen ugrásszerű változás csak nagyon ritkán (pl. fázisátalakulásoknál vagy hidrodinamikai lökéshullámoknál) fordul elő, jelen esetben a hőtágulási együttható ugrásszerű megváltozásának feltételezése nem indokolt, és ténylegesen hibás.
2. Az elméleti megfontolásokat érdemes összehasonlítani a mérési eredményekkel. ,,Részletes táblázati adatok'' szerint a víz sűrűsége (kg/m3 egységekben) 0 fokon 999,868; 3 fokon 999,992; és végül 6 fokon 999,968. Az adatok bizonytalansága az utolsó kiírt tizedesjegyben legfeljebb fél jegynyi lehet. Kiszámíthatjuk, hogy a sűrűségek változása 3 és 6 fok között 0,024±0,001; 3 és 0 fok között pedig 0,124±0,001. Ezen két szám aránya 5,1±0,2; ami jól összefér a ,,sima'' változást feltételező elmélet 5-ös értékével, de ellentmond a hőtágulási együttható ugrásszerű változásának megfelelő 3-nak.