Feladat: 3748. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Széchenyi Gábor ,  Tinku Szilárd 
Füzet: 2005/május, 303 - 304. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kötelek (láncok) dinamikája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/november: 3748. fizika feladat

Egy hajlékony, homogén kötelet helyezünk el egy kettős lejtőre az ábra szerint. Határozzuk meg a kötél gyorsulását az elengedés pillanatában! (A súrlódás elhanyagolható.)
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a kötélszárak hosszát a-val és b-vel, az általuk alkotott háromszögben a szemközti szögeket α-val és β-val (1. ábra). Az egyes kötélszárak tömege a kötél hosszával arányos:

ma=aa+bm,mb=ba+bm,
ahol m az egész kötél tömege.
 
 

1. ábra
 

A kötélszárakat ‐ legalábbis az indulás pillanatában ‐ helyettesíthetjük egy-egy pontszerű testtel, melyeket egy csiga segítségével elhanyagolható tömegű fonál köt össze. A fonáldarab által kifejtett erőt K-val, az egyes darabok gyorsulását pedig (az ábrán látható irányítással) A-val jelölve a rendszer mozgásegyenlete:
magsinβ-K=maA,K-mbgsinα=mbA,
ahonnan a kötél gyorsulása:
A=masinβ-mbsinαma+mbg=asinβ-bsinαa+bg.

Használjuk még ki, hogy bármely háromszögben az oldalak és a szögek között a szinusz-tételnek megfelelő kapcsolat áll fenn:
ab=sinαsinβ.
Innen A=0 következik, vagyis a kötél ‐ ha éppen a feladatban szereplő helyzetban hagyjuk magára ‐ egyik irányban sem kezd el mozogni, nyugalomban marad. (Belátható, hogy ez az egyensúlyi helyzet labilis.)
 
II. megoldás. Oldjuk meg a feladatot az ún. virtuális munka elvének segítségével, vagyis energetikai megfontolásokkal. Tegyük fel, hogy a kötelet egy kicsit (mondjuk Δl távolságnyit) elmozdítjuk a jobb oldali kötélszár irányában. Ekkor a kötél gravitációs helyzeti energiája egy nagyon kicsit (Δl2-tel arányos mértékben) lecsökken, hiszen a helyzeti energia úgy számolható, mintha egy Δl hosszúságú darabkát levágtunk volna a kötél bal oldali végéből, és azt a jobb oldali végponthoz ragasztottuk volna. Hasonló gondolatmenettel látható be, hogy a helyzeti energia akkor is csökkenne, ha a kötelet az ellenkező irányban mozdítanánk el.
Ezek szerint a kötél gravitációs helyzeti energiájának a feladat ábráján látható helyzetben maximuma van, ami pedig (egy domb tetején álló labda esetéhez hasonlóan) instabil egyensúlyi helyzetnek felel meg.
Elegánsabban is eljuthatunk a megoldáshoz, ha azt a módszert alkalmazzuk, amelyet Simon Stevin (1548‐1620) németalföldi tudós (neve latinosan Stevinus formában is ismert) fedezett fel, és amelyre utaló ábrát a sírkövére is felvésetett.
Tekintsünk egy apró szemekből álló gyöngysort (ez lényegében egyenértékű a hajlékony, homogén kötéllel), készítsünk belőle zárt láncot, majd helyezzük ezt a láncot egy kettős lejtőre (2. ábra). A lánc önmagától nem fordul körbe, nem gyorsul semelyik irányban; ha ilyet tenne, ,,örökmozgóvá'' válna.
 
 

2. ábra
 

Világos, hogy a lánc alsó (szimmetrikus) része ‐ elfordulás szempontjából ‐ önmagában is egyensúlyban van, se jobbra, se balra nem akar elmozdulni. (Függőlegesen persze elmozdulna, ha a lánc többi része nem tartaná; ez azonban a megfontolásaink szempontjából lényegtelen.) Így tehát a lejtőn levő egyenes gyöngysor-szálak is egyensúlyban kell legyenek, az alsó rész eltávolítása után is nyugalomban maradnának.