| Feladat: | B.3799 | Korcsoport: 14-15 | Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): | Árvay Anna , Baló András , Baranyai J. Attila , Beck Zoltán , Blázsik Zoltán , Csaba Ákos , Eckert Bernadett , Estélyi István , Gehér Zoltán , Hujter Bálint , Ildrin Gasimov , Károlyi Gergely , Károlyi Márton , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss Viktor , Kiss-Tóth Christián , Knippl Diána , Komáromy Dani , Kornis Bence , Németh Zsolt , Páldy Sándor , Pap Máté , Pesti Veronika , Rábai András , Sommer Dániel , Strenner Balázs , Szabó Levente , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szegvári Adrián , Szudi László , Török Péter , Udvari Balázs , Üveges Lilla | ||
| Füzet: | 2005/december, 537 - 538. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Egybevágósági transzformációk, Hossz, kerület, Feladat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/február: B.3799 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Mivel a két háromszög közös része hatszög, azért a hatszögön kívül mindkét háromszög még 3‐3 kis háromszögből áll (lásd az ábrát). E kis háromszögek mindegyikének van -os szöge (az, amelyikkel szemben olyan oldal van, ami egyúttal a hatszögnek is oldala), továbbá bármelyik két szomszédos kis háromszögben a közös csúcsnál lévő szögek egyenlők, mert váltószögek. Ezért bármelyik két szomszédos kis háromszög hasonló, amiből az is következik, hogy mind a 6 kis háromszög hasonló egymáshoz.  Jelöljük a hatszög oldalait az ábrán látható módon -tal. A kis háromszögek hasonlóságából következik, hogy ha bármelyikükben tekintjük a -os szöget bezáró két oldal összegének és az típusú oldalnak az arányát, akkor minden esetben ugyanazt a számot kapjuk. A háromszög-egyenlőtlenség miatt is fennáll. Írjuk fel az eredeti szabályos háromszögek kerületét az -k és segítségével. Az egyik háromszög kerülete Mivel , azért ebből következik, hogy |