Feladat: B.3799 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árvay Anna ,  Baló András ,  Baranyai J. Attila ,  Beck Zoltán ,  Blázsik Zoltán ,  Csaba Ákos ,  Eckert Bernadett ,  Estélyi István ,  Gehér Zoltán ,  Hujter Bálint ,  Ildrin Gasimov ,  Károlyi Gergely ,  Károlyi Márton ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss Viktor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Knippl Diána ,  Komáromy Dani ,  Kornis Bence ,  Németh Zsolt ,  Páldy Sándor ,  Pap Máté ,  Pesti Veronika ,  Rábai András ,  Sommer Dániel ,  Strenner Balázs ,  Szabó Levente ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szegvári Adrián ,  Szudi László ,  Török Péter ,  Udvari Balázs ,  Üveges Lilla 
Füzet: 2005/december, 537 - 538. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Egybevágósági transzformációk, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: B.3799

Két egybevágó szabályos háromszög közös része egy hatszög. Bizonyítsuk be, hogy ebben a hatszögben a másodszomszédos oldalak hosszának összege egyenlő.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a két háromszög közös része hatszög, azért a hatszögön kívül mindkét háromszög még 3‐3 kis háromszögből áll (lásd az ábrát). E kis háromszögek mindegyikének van 60-os szöge (az, amelyikkel szemben olyan oldal van, ami egyúttal a hatszögnek is oldala), továbbá bármelyik két szomszédos kis háromszögben a közös csúcsnál lévő szögek egyenlők, mert váltószögek. Ezért bármelyik két szomszédos kis háromszög hasonló, amiből az is következik, hogy mind a 6 kis háromszög hasonló egymáshoz.

 
 

Jelöljük a hatszög oldalait az ábrán látható módon x1,x2,...,x6-tal. A kis háromszögek hasonlóságából következik, hogy ha bármelyikükben tekintjük a 60-os szöget bezáró két oldal összegének és az xi típusú oldalnak az arányát, akkor minden esetben ugyanazt a k számot kapjuk. A háromszög-egyenlőtlenség miatt k>1 is fennáll.
Írjuk fel az eredeti szabályos háromszögek kerületét az xi-k és k segítségével. Az egyik háromszög kerülete
x1+kx2+x3+kx4+x5+kx6,
míg a másiké
x2+kx3+x4+kx5+x6+kx1.
Mivel a két háromszög egybevágó, azért a kerületük egyenlő, azaz
x1+kx2+x3+kx4+x5+kx6=x2+kx3+x4+kx5+x6+kx1,
amiből rendezve kapjuk, hogy
(1-k)(x1-x2+x3-x4+x5-x6)=0.

Mivel k>1, azért ebből következik, hogy
x1+x3+x5=x2+x4+x6,
vagyis a hatszögben a másodszomszédos oldalak hosszának összege egyenlő és ezt kellett bizonyítanunk.