Kezdőlap


Feladat:	3744. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kónya Gábor
Füzet:	2005/március, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/november: 3744. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a teljes út $s$ , a megtételéhez szükséges idő $t$ , továbbá jelöljük a $v_{i}$ sebességgel megtett útszakasz hosszát $s_{i}$ -vel, a megtételükhöz szükséges időket pedig $t_{i}$ -vel! $(v_{1} = 40 \frac{km}{h}$ , $v_{2} = 90 \frac{km}{h} .)$
$a)$ Az első esetben $\frac{s_{1}}{s} = 0, 1$ és $\frac{s_{2}}{s} = 0, 9;$ ekkor az átlagsebesség

\begin{matrix} v_{a} = \frac{s}{t} = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} = \frac{1}{\frac{\frac{s_{1}}{s}}{v_{1}} + \frac{\frac{s_{2}}{s}}{v_{2}}} . \end{matrix}

A numerikus értékek behelyettesítése után

v_{a} = 80 km/h

adódik.

b)

A másik esetben

\frac{t_{1}}{t} = 0, 1

és

\frac{t_{2}}{t} = 0, 9

; ekkor az átlagsebesség

\begin{matrix} v_{b} = \frac{s}{t} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t} = \frac{v_{1} t_{1} + v_{2} t_{2}}{t} = \frac{t_{1}}{t} v_{1} + \frac{t_{2}}{t} v_{2} = 85 \frac{km}{h} . \end{matrix}

Mivel mindkét esetben ugyanakkora a megtett út, akkor érkezünk meg hamarabb, amikor nagyobb az átlagsebességünk; ez pedig a második (

b

) eset.

Megjegyzés. A feladatot általánosíthatjuk

n

különböző sebességű szakaszra,

λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n}

súlyfaktorokkal, amelyekre teljesül, hogy

\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1

. Ekkor

\begin{matrix} v_{a} = \frac{1}{\frac{λ_{1}}{v_{1}} + \frac{λ_{2}}{v_{2}} + ... + \frac{λ_{n}}{v_{n}}}, \end{matrix}

ez éppen az egyes szakaszokhoz tartozó sebességek súlyozott harmonikus közepe.
A másik esetben az átlagsebesség

\begin{matrix} v_{b} = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + ... + λ_{n} v_{n}, \end{matrix}

az egyes részsebességek súlyozott számtani közepe.
Ismert, hogy a harmonikus közép nem lehet nagyobb, mint a számtani közép, és az egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha valamennyi szakaszon ugyanakkora a sebesség, tehát egyenletesen haladunk.