Feladat: 3744. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kónya Gábor 
Füzet: 2005/március, 184 - 185. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/november: 3744. fizika feladat

Egy hosszabb utazás alkalmával az egész út 10%-át lakott területen tesszük meg 40km/óra sebességgel, 90%-át pedig országúton 90km/óra sebességgel.
Mennyi az egész útra számított átlagsebesség? Hogyan módosul a válasz, ha nem az út, hanem a teljes menetidő 10%-ában haladunk 40 km/óra sebességgel és 90%-ában pedig 90km/óra sebességgel? Melyik esetben érünk oda hamarabb?

Megoldás. Legyen a teljes út s, a megtételéhez szükséges idő t, továbbá jelöljük a vi sebességgel megtett útszakasz hosszát si-vel, a megtételükhöz szükséges időket pedig ti-vel! (v1=40kmh, v2=90kmh.)
a) Az első esetben s1s=0,1 és s2s=0,9; ekkor az átlagsebesség
va=st=st1+t2=ss1v1+s2v2=1s1sv1+s2sv2.
A numerikus értékek behelyettesítése után va=80km/h adódik.
b) A másik esetben t1t=0,1 és t2t=0,9; ekkor az átlagsebesség
vb=st=s1+s2t=v1t1+v2t2t=t1tv1+t2tv2=85kmh.

Mivel mindkét esetben ugyanakkora a megtett út, akkor érkezünk meg hamarabb, amikor nagyobb az átlagsebességünk; ez pedig a második (b) eset.
 
Megjegyzés. A feladatot általánosíthatjuk n különböző sebességű szakaszra, λ1,λ2,...,λn súlyfaktorokkal, amelyekre teljesül, hogy i=1nλi=1. Ekkor
va=1λ1v1+λ2v2+...+λnvn,
ez éppen az egyes szakaszokhoz tartozó sebességek súlyozott harmonikus közepe.
A másik esetben az átlagsebesség
vb=λ1v1+λ2v2+...+λnvn,
az egyes részsebességek súlyozott számtani közepe.
Ismert, hogy a harmonikus közép nem lehet nagyobb, mint a számtani közép, és az egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha valamennyi szakaszon ugyanakkora a sebesség, tehát egyenletesen haladunk.