Kezdőlap


Feladat:	3740. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pásztor Attila
Füzet:	2005/március, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elektromos mező, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: 3740. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a gömb sugara $R$ , töltéssűrűsége (egységnyi térfogatra jutó töltése) pedig $ϱ$ . Tekintsünk egy, a gömb belsejében levő, a középponttól $r$ távolságban elhelyezkedő pontot $(0 \leq r < R)$ . Tudjuk, hogy gömbszimmetrikus töltéseloszlás esetén az elektromos térerősség sugár irányú, és a nagysága $(E_{r})$ csak a középponttól mért távolságtól függ. Felírhatjuk Gauss törvényét egy $r$ sugarú gömbre:

\begin{matrix} E_{r} \cdot 4 π r^{2} = \frac{1}{ε_{0}} \cdot \frac{4 r^{3} π}{3} \cdot ϱ, ahonnan E_{r} = \frac{ϱ}{3 ε_{0}} r . \end{matrix}

r \geq R

, akkor a térerősség a Coulomb-törvénynek megfelelően

\begin{matrix} E_{r} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{4 R^{3} π}{3} \cdot ϱ \cdot \frac{1}{r^{2}} = \frac{R^{3} ϱ}{3 ε_{0}} \frac{1}{r^{2}} . \end{matrix}

Ha a potenciált a végtelenben nullának választjuk, akkor a gömb felületén (a töltött gömb Coulomb-potenciáljának ismert képlete szerint)

\begin{matrix} U_{R} = \frac{R^{3} ϱ}{3 ε_{0}} \frac{1}{R} . \end{matrix}

A gömb középpontjában a potenciál a felületén érvényes

E_{R}

potenciálból és a felülettől a középpontig mozgatott egységnyi töltésen végzett munkából tevődik össze. (Ez utóbbi, mivel az elektromos térerősség lineárisan változik, az átlagos térerősségből számítható.) Így

\begin{matrix} U_{0} = U_{R} + \frac{1}{2} E_{R} \cdot R = \frac{R^{3} ϱ}{3 ε_{0}} \frac{1}{R} + \frac{R^{3} ϱ}{6 ε_{0}} \frac{1}{R^{2}} \cdot R = \frac{3}{2} U_{R} . \end{matrix}

A keresett arány tehát

\begin{matrix} \frac{U_{R}}{U_{0}} = \frac{2}{3} . \end{matrix}